Ici, nous vous montrons un exemple résolu étape par étape de intégration par substitution trigonométrique. Cette solution a été générée automatiquement par notre calculatrice intelligente :
Nous pouvons résoudre l'intégrale $\int\sqrt{x^2+4}dx$ en appliquant la méthode d'intégration de la substitution trigonométrique à l'aide de la substitution suivante
Différencier les deux côtés de l'équation $x=2\tan\left(\theta \right)$
Trouver la dérivée
Appliquer la formule : $\frac{d}{dx}\left(cx\right)$$=c\frac{d}{dx}\left(x\right)$
Appliquer l'identité trigonométrique : $\frac{d}{dx}\left(\tan\left(\theta \right)\right)$$=\frac{d}{dx}\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^2$, où $x=\theta $
Appliquer la formule : $\frac{d}{dx}\left(x\right)$$=1$, où $x=\theta $
Maintenant, pour réécrire $d\theta$ en termes de $dx$, nous devons trouver la dérivée de $x$. Nous devons calculer $dx$, ce que nous pouvons faire en dérivant l'équation ci-dessus.
Appliquer la formule : $\left(ab\right)^n$$=a^nb^n$, où $a=2$, $b=\tan\left(\theta \right)$ et $n=2$
Appliquer l'identité trigonométrique : $n+n\tan\left(\theta \right)^2$$=n\sec\left(\theta \right)^2$, où $x=\theta $ et $n=4$
Appliquer la formule : $\left(ab\right)^n$$=a^nb^n$, où $a=4$, $b=\sec\left(\theta \right)^2$ et $n=\frac{1}{2}$
Appliquer la formule : $ab$$=ab$, où $ab=2\cdot 2\sec\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^2$, $a=2$ et $b=2$
Appliquer la formule : $x\cdot x^n$$=x^{\left(n+1\right)}$, où $x^nx=4\sec\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^2$, $x=\sec\left(\theta \right)$, $x^n=\sec\left(\theta \right)^2$ et $n=2$
En substituant l'intégrale d'origine, on obtient
Appliquer la formule : $\int cxdx$$=c\int xdx$, où $c=4$ et $x=\sec\left(\theta \right)^{3}$
Appliquer la formule : $\int\sec\left(\theta \right)^ndx$$=\frac{\sin\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^{\left(n-1\right)}}{n-1}+\frac{n-2}{n-1}\int\sec\left(\theta \right)^{\left(n-2\right)}dx$, où $dx=d\theta$, $x=\theta $ et $n=3$
Appliquer la formule : $x\left(a+b\right)$$=xa+xb$, où $a=\frac{\sin\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^{2}}{2}$, $b=\frac{1}{2}\int\sec\left(\theta \right)d\theta$, $x=4$ et $a+b=\frac{\sin\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^{2}}{2}+\frac{1}{2}\int\sec\left(\theta \right)d\theta$
Appliquer la formule : $a\frac{x}{b}$$=\frac{a}{b}x$, où $a=4$, $b=2$, $ax/b=4\left(\frac{\sin\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^{2}}{2}\right)$, $x=\sin\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^{2}$ et $x/b=\frac{\sin\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^{2}}{2}$
Appliquer la formule : $\left(\frac{a}{b}\right)^n$$=\frac{a^n}{b^n}$, où $a=\sqrt{x^2+4}$, $b=2$ et $n=2$
Appliquer la formule : $\frac{a}{b}\frac{c}{f}$$=\frac{ac}{bf}$, où $a=x$, $b=\sqrt{x^2+4}$, $c=x^2+4$, $a/b=\frac{x}{\sqrt{x^2+4}}$, $f=4$, $c/f=\frac{x^2+4}{4}$ et $a/bc/f=2\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+4}}\right)\left(\frac{x^2+4}{4}\right)$
Appliquer la formule : $\frac{a}{a^n}$$=a^{\left(1-n\right)}$, où $a=x^2+4$ et $n=\frac{1}{2}$
Appliquer la formule : $a\frac{b}{c}$$=\frac{ba}{c}$, où $a=2$, $b=x\sqrt{x^2+4}$ et $c=4$
Exprimer la variable $\theta$ en termes de la variable d'origine $x$
Appliquer la formule : $\int\sec\left(\theta \right)dx$$=\ln\left(\sec\left(\theta \right)+\tan\left(\theta \right)\right)+C$, où $x=\theta $
Exprimer la variable $\theta$ en termes de la variable d'origine $x$
L'intégrale $2\int\sec\left(\theta \right)d\theta$ se traduit par : $2\ln\left(\frac{\sqrt{x^2+4}+x}{2}\right)$
Rassembler les résultats de toutes les intégrales
Comme l'intégrale que nous résolvons est une intégrale indéfinie, lorsque nous terminons l'intégration, nous devons ajouter la constante d'intégration $C$
Appliquer la formule : $b\ln\left(\frac{x}{a}\right)+c$$=b\ln\left(x\right)+cteint$, où $a=2$, $b=2$, $c=C_0$ et $x=\sqrt{x^2+4}+x$
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