Hier zeigen wir Ihnen Schritt für Schritt ein gelöstes Beispiel für weierstrass substitution. Diese Lösung wurde automatisch von unserem intelligenten Taschenrechner generiert:
Wir können das Integral $\int\frac{1}{1-\cos\left(x\right)+\sin\left(x\right)}dx$ lösen, indem wir die Methode der Weierstraß-Substitution (auch bekannt als Tangens-Halbwinkel-Substitution) anwenden, die ein Integral trigonometrischer Funktionen in eine rationale Funktion von $t$ umwandelt, indem wir die Substitution setzen
Daher
Setzt man das ursprüngliche Integral ein, erhält man
Wenden Sie die Formel an: $\frac{a}{b}\frac{c}{f}$$=\frac{ac}{bf}$, wobei $a=1$, $b=1-\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}+\frac{2t}{1+t^{2}}$, $c=2$, $a/b=\frac{1}{1-\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}+\frac{2t}{1+t^{2}}}$, $f=1+t^{2}$, $c/f=\frac{2}{1+t^{2}}$ und $a/bc/f=\frac{1}{1-\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}+\frac{2t}{1+t^{2}}}\frac{2}{1+t^{2}}$
Wenden Sie die Formel an: $-\frac{b}{c}$$=\frac{expand\left(-b\right)}{c}$, wobei $b=1-t^{2}$ und $c=1+t^{2}$
Wenden Sie die Formel an: $\frac{a}{b}+\frac{c}{b}$$=\frac{a+c}{b}$, wobei $a=-1+t^{2}$, $b=1+t^{2}$ und $c=2t$
Wenden Sie die Formel an: $a+\frac{b}{c}$$=\frac{b+ac}{c}$, wobei $a=1$, $b=-1+t^{2}+2t$, $c=1+t^{2}$, $a+b/c=1+\frac{-1+t^{2}+2t}{1+t^{2}}$ und $b/c=\frac{-1+t^{2}+2t}{1+t^{2}}$
Wenden Sie die Formel an: $\frac{a}{\frac{b}{c}}$$=\frac{ac}{b}$, wobei $a=2$, $b=2t^{2}+2t$, $c=1+t^{2}$, $a/b/c=\frac{2}{\frac{2t^{2}+2t}{1+t^{2}}\left(1+t^{2}\right)}$ und $b/c=\frac{2t^{2}+2t}{1+t^{2}}$
Wenden Sie die Formel an: $\frac{a}{a}$$=1$, wobei $a=1+t^{2}$ und $a/a=\frac{2\left(1+t^{2}\right)}{\left(2t^{2}+2t\right)\left(1+t^{2}\right)}$
Den Nenner multiplizieren mit $2$
Den gemeinsamen Faktor des Bruchs aufheben $2$
Vereinfachung
Faktorisieren Sie das Polynom $t^{2}+t$ mit seinem größten gemeinsamen Faktor (GCF): $t$
Schreiben Sie den Ausdruck $\frac{1}{t^{2}+t}$ innerhalb des Integrals in faktorisierter Form um
Umschreiben des Bruchs $\frac{1}{t\left(t+1\right)}$ in $2$ einfachere Brüche durch partielle Bruchzerlegung
Ermitteln Sie die Werte für die unbekannten Koeffizienten: $A, B$. Der erste Schritt ist die Multiplikation beider Seiten der Gleichung aus dem vorherigen Schritt mit $t\left(t+1\right)$
Multiplikation von Polynomen
Vereinfachung
Indem wir $t$ Werte zuweisen, erhalten wir das folgende System von Gleichungen
Lösen Sie nun das lineare Gleichungssystem
Umschreiben in eine Koeffizientenmatrix
Reduktion der Originalmatrix auf eine Identitätsmatrix mit Hilfe der Gaußschen Eliminierung
Das Integral von $\frac{1}{t\left(t+1\right)}$ in zerlegten Brüchen ist gleich
Umschreiben des Bruchs $\frac{1}{t\left(t+1\right)}$ in $2$ einfachere Brüche durch partielle Bruchzerlegung
Erweitern Sie das Integral $\int\left(\frac{1}{t}+\frac{-1}{t+1}\right)dt$ mit Hilfe der Summenregel für Integrale in $2$ Integrale, um dann jedes Integral einzeln zu lösen
Wir können das Integral $\int\frac{-1}{t+1}dt$ lösen, indem wir die Methode der Integration durch Substitution (auch U-Substitution genannt) anwenden. Zunächst müssen wir einen Abschnitt innerhalb des Integrals mit einer neuen Variablen identifizieren (nennen wir sie $u$), die, wenn sie substituiert wird, das Integral einfacher macht. Wir sehen, dass $t+1$ ein guter Kandidat für die Substitution ist. Definieren wir eine Variable $u$ und weisen sie dem gewählten Teil zu
Differenzieren Sie beide Seiten der Gleichung $u=t+1$
Finden Sie die Ableitung
Die Ableitung einer Summe von zwei oder mehr Funktionen ist die Summe der Ableitungen der einzelnen Funktionen
Um nun $dt$ in $du$ umzuschreiben, müssen wir die Ableitung von $u$ finden. Um $du$ zu berechnen, können wir die obige Gleichung ableiten
Setzen Sie $u$ und $dt$ in das Integral ein und vereinfachen Sie
Wenden Sie die Formel an: $\int\frac{n}{x}dx$$=n\ln\left(x\right)+C$, wobei $x=t$ und $n=1$
Das Integral $\int\frac{1}{t}dt$ ergibt sich: $\ln\left(t\right)$
Wenden Sie die Formel an: $\int\frac{n}{x}dx$$=n\ln\left(x\right)+C$, wobei $x=u$ und $n=-1$
Ersetzen Sie $u$ durch den Wert, den wir ihm am Anfang zugewiesen haben: $t+1$
Das Integral $\int\frac{-1}{u}du$ ergibt sich: $-\ln\left(t+1\right)$
Sammeln Sie die Ergebnisse aller Integrale
Ersetzen Sie $t$ durch den Wert, den wir ihm am Anfang zugewiesen haben: $\tan\left(\frac{x}{2}\right)$
Da das Integral, das wir lösen, ein unbestimmtes Integral ist, müssen wir am Ende der Integration die Integrationskonstante hinzufügen $C$
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