Weierstrass Substitution Rechner

Mit unserem Weierstrass Substitution Schritt-für-Schritt-Rechner erhalten Sie detaillierte Lösungen für Ihre mathematischen Probleme. Üben Sie Ihre mathematischen Fähigkeiten und lernen Sie Schritt für Schritt mit unserem Mathe-Löser. Alle unsere Online-Rechner finden Sie hier.

∫11−cos(x)+sin(x) dx

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(◻)

◻/◻

◻²

◻^◻

√◻

√

^◻√◻

^◻√

∞

log

log_◻

lim

d/dx

D^□_x

∫

∫^◻

|◻|

sin

cos

tan

cot

sec

csc

asin

acos

atan

acot

asec

acsc

sinh

cosh

tanh

coth

sech

csch

asinh

acosh

atanh

acoth

asech

acsch

 Schwierige Probleme

Ici, nous vous montrons un exemple résolu étape par étape de weierstrass substitution. Cette solution a été générée automatiquement par notre calculatrice intelligente :

\int\frac{1}{1-cos\left(x\right)+sin\left(x\right)}dx

Nous pouvons résoudre l'intégrale $\int\frac{1}{1-\cos\left(x\right)+\sin\left(x\right)}dx$ en appliquant la méthode de substitution de Weierstrass (également connue sous le nom de substitution du demi-angle tangent) qui convertit une intégrale de fonctions trigonométriques en une fonction rationnelle de $t$ en établissant la substitution suivante

t=\tan\left(\frac{x}{2}\right)

D'où

\sin x=\frac{2t}{1+t^{2}},\:\cos x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}},\:\mathrm{et}\:\:dx=\frac{2}{1+t^{2}}dt

En substituant l'intégrale d'origine, on obtient

\int\frac{1}{1-\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}+\frac{2t}{1+t^{2}}}\frac{2}{1+t^{2}}dt

Appliquer la formule : $\frac{a}{b}\frac{c}{f}$ $=\frac{ac}{bf}$ , où $a=1$ , $b=1-\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}+\frac{2t}{1+t^{2}}$ , $c=2$ , $a/b=\frac{1}{1-\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}+\frac{2t}{1+t^{2}}}$ , $f=1+t^{2}$ , $c/f=\frac{2}{1+t^{2}}$ et $a/bc/f=\frac{1}{1-\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}+\frac{2t}{1+t^{2}}}\frac{2}{1+t^{2}}$

\int\frac{2}{\left(1-\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}+\frac{2t}{1+t^{2}}\right)\left(1+t^{2}\right)}dt

Appliquer la formule : $-\frac{b}{c}$ $=\frac{expand\left(-b\right)}{c}$ , où $b=1-t^{2}$ et $c=1+t^{2}$

\int\frac{2}{\left(1+\frac{-1+t^{2}}{1+t^{2}}+\frac{2t}{1+t^{2}}\right)\left(1+t^{2}\right)}dt

Appliquer la formule : $\frac{a}{b}+\frac{c}{b}$ $=\frac{a+c}{b}$ , où $a=-1+t^{2}$ , $b=1+t^{2}$ et $c=2t$

\int\frac{2}{\left(1+\frac{-1+t^{2}+2t}{1+t^{2}}\right)\left(1+t^{2}\right)}dt

Appliquer la formule : $a+\frac{b}{c}$ $=\frac{b+ac}{c}$ , où $a=1$ , $b=-1+t^{2}+2t$ , $c=1+t^{2}$ , $a+b/c=1+\frac{-1+t^{2}+2t}{1+t^{2}}$ et $b/c=\frac{-1+t^{2}+2t}{1+t^{2}}$

\int\frac{2}{\frac{2t^{2}+2t}{1+t^{2}}\left(1+t^{2}\right)}dt

Appliquer la formule : $\frac{a}{\frac{b}{c}}$ $=\frac{ac}{b}$ , où $a=2$ , $b=2t^{2}+2t$ , $c=1+t^{2}$ , $a/b/c=\frac{2}{\frac{2t^{2}+2t}{1+t^{2}}\left(1+t^{2}\right)}$ et $b/c=\frac{2t^{2}+2t}{1+t^{2}}$

\int\frac{2\left(1+t^{2}\right)}{\left(2t^{2}+2t\right)\left(1+t^{2}\right)}dt

Appliquer la formule : $\frac{a}{a}$ $=1$ , où $a=1+t^{2}$ et $a/a=\frac{2\left(1+t^{2}\right)}{\left(2t^{2}+2t\right)\left(1+t^{2}\right)}$

\int\frac{2}{2t^{2}+2t}dt

Factoriser le dénominateur par $2$

\int\frac{2}{2\left(t^{2}+t\right)}dt

Annuler le facteur commun de la fraction $2$

\int\frac{1}{t^{2}+t}dt

Simplifier

\int\frac{1}{t^{2}+t}dt

Factoriser le polynôme $t^{2}+t$ par son plus grand facteur commun (GCF) : $t$

\frac{1}{t\left(t+1\right)}

Réécrire l'expression $\frac{1}{t^{2}+t}$ à l'intérieur de l'intégrale sous forme factorisée

\int\frac{1}{t\left(t+1\right)}dt

Réécrire la fraction $\frac{1}{t\left(t+1\right)}$ en $2$ fractions plus simples à l'aide de la décomposition partielle des fractions

\frac{1}{t\left(t+1\right)}=\frac{A}{t}+\frac{B}{t+1}

Trouvez les valeurs des coefficients inconnus : $A, B$ . La première étape consiste à multiplier les deux côtés de l'équation de l'étape précédente par $t\left(t+1\right)$

1=t\left(t+1\right)\left(\frac{A}{t}+\frac{B}{t+1}\right)

Multiplication de polynômes

1=\frac{t\left(t+1\right)A}{t}+\frac{t\left(t+1\right)B}{t+1}

Simplifier

1=\left(t+1\right)A+tB

En attribuant des valeurs à $t$ , nous obtenons le système d'équations suivant

\begin{matrix}1=A&\:\:\:\:\:\:\:(t=0) \\ 1=-B&\:\:\:\:\:\:\:(t=-1)\end{matrix}

Procédez à la résolution du système d'équations linéaires

\begin{matrix}1A & + & 0B & =1 \\ 0A & - & 1B & =1\end{matrix}

Réécriture sous forme de matrice de coefficients

\left(\begin{matrix}1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 1\end{matrix}\right)

Réduire la matrice originale à une matrice identité en utilisant l'élimination gaussienne

\left(\begin{matrix}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1\end{matrix}\right)

L'intégrale de $\frac{1}{t\left(t+1\right)}$ en fractions décomposées est égale à

\frac{1}{t}+\frac{-1}{t+1}

Réécrire la fraction $\frac{1}{t\left(t+1\right)}$ en $2$ fractions plus simples à l'aide de la décomposition partielle des fractions

\frac{1}{t}+\frac{-1}{t+1}

Développez l'intégrale $\int\left(\frac{1}{t}+\frac{-1}{t+1}\right)dt$ en intégrales $2$ à l'aide de la règle de la somme des intégrales, pour ensuite résoudre chaque intégrale séparément.

\int\frac{1}{t}dt+\int\frac{-1}{t+1}dt

Nous pouvons résoudre l'intégrale $\int\frac{-1}{t+1}dt$ en appliquant la méthode d'intégration par substitution (également appelée substitution en U). Tout d'abord, nous devons identifier une section de l'intégrale avec une nouvelle variable (appelons-la $u$ ), qui, une fois substituée, rend l'intégrale plus facile. Nous voyons que $t+1$ est un bon candidat pour la substitution. Définissons une variable $u$ et assignons-la à la partie choisie

u=t+1

Différencier les deux côtés de l'équation $u=t+1$

du=\frac{d}{dt}\left(t+1\right)

Trouver la dérivée

\frac{d}{dt}\left(t+1\right)

La dérivée d'une somme de deux fonctions ou plus est la somme des dérivées de chaque fonction.

\frac{d}{dt}\left(t\right)+\frac{d}{dt}\left(1\right)

Appliquer la formule : $\frac{d}{dx}\left(c\right)$ $=0$ , où $c=1$

\frac{d}{dt}\left(t\right)

Appliquer la formule : $\frac{d}{dx}\left(x\right)$ $=1$ , où $x=t$

1

Maintenant, pour réécrire $dt$ en termes de $du$ , nous devons trouver la dérivée de $u$ . Nous devons calculer $du$ , ce que nous pouvons faire en dérivant l'équation ci-dessus.

du=dt

En substituant $u$ et $dt$ dans l'intégrale et en simplifiant

\int\frac{1}{t}dt+\int\frac{-1}{u}du

Appliquer la formule : $\int\frac{n}{x}dx$ $=n\ln\left(x\right)+C$ , où $x=t$ et $n=1$

\ln\left|t\right|

L'intégrale $\int\frac{1}{t}dt$ se traduit par : $\ln\left(t\right)$

\ln\left(t\right)

Appliquer la formule : $\int\frac{n}{x}dx$ $=n\ln\left(x\right)+C$ , où $x=u$ et $n=-1$

-\ln\left|u\right|

Remplacez $u$ par la valeur que nous lui avons attribuée au début : $t+1$

-\ln\left|t+1\right|

L'intégrale $\int\frac{-1}{u}du$ se traduit par : $-\ln\left(t+1\right)$

-\ln\left(t+1\right)

Rassembler les résultats de toutes les intégrales

\ln\left|t\right|-\ln\left|t+1\right|

Remplacez $t$ par la valeur que nous lui avons attribuée au début : $\tan\left(\frac{x}{2}\right)$

\ln\left|\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right|-\ln\left|\tan\left(\frac{x}{2}\right)+1\right|

Comme l'intégrale que nous résolvons est une intégrale indéfinie, lorsque nous terminons l'intégration, nous devons ajouter la constante d'intégration $C$

\ln\left|\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right|-\ln\left|\tan\left(\frac{x}{2}\right)+1\right|+C_0

 Endgültige Antwort auf das Problem

\ln\left|\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right|-\ln\left|\tan\left(\frac{x}{2}\right)+1\right|+C_0

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