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Integrale durch partielle Bruchrechnung Rechner

Mit unserem Integrale durch partielle Bruchrechnung Schritt-für-Schritt-Rechner erhalten Sie detaillierte Lösungen für Ihre mathematischen Probleme. Üben Sie Ihre mathematischen Fähigkeiten und lernen Sie Schritt für Schritt mit unserem Mathe-Löser. Alle unsere Online-Rechner finden Sie hier.

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asinh
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atanh
acoth
asech
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Qui vi mostriamo un esempio di soluzione passo-passo di integrali per espansione di frazione parziale. Questa soluzione è stata generata automaticamente dalla nostra calcolatrice intelligente:

$\int\frac{1}{x\left(x+1\right)}dx$

Riscrivere la frazione $\frac{1}{x\left(x+1\right)}$ in $2$ frazioni più semplici utilizzando la scomposizione in frazioni parziali.

$\frac{1}{x\left(x+1\right)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}$

Trovare i valori dei coefficienti incogniti: $A, B$. Il primo passo consiste nel moltiplicare entrambi i lati dell'equazione del passo precedente per $x\left(x+1\right)$

$1=x\left(x+1\right)\left(\frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}\right)$

Moltiplicazione di polinomi

$1=\frac{x\left(x+1\right)A}{x}+\frac{x\left(x+1\right)B}{x+1}$

Semplificare

$1=\left(x+1\right)A+xB$

Assegnando i valori a $x$ si ottiene il seguente sistema di equazioni

$\begin{matrix}1=A&\:\:\:\:\:\:\:(x=0) \\ 1=-B&\:\:\:\:\:\:\:(x=-1)\end{matrix}$

Procedere alla risoluzione del sistema di equazioni lineari

$\begin{matrix}1A & + & 0B & =1 \\ 0A & - & 1B & =1\end{matrix}$

Riscrivere come matrice di coefficienti

$\left(\begin{matrix}1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 1\end{matrix}\right)$

Ridurre la matrice originale a una matrice identità utilizzando l'eliminazione gaussiana

$\left(\begin{matrix}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1\end{matrix}\right)$

L'integrale di $\frac{1}{x\left(x+1\right)}$ in frazioni scomposte è uguale a

$\frac{1}{x}+\frac{-1}{x+1}$
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Riscrivere la frazione $\frac{1}{x\left(x+1\right)}$ in $2$ frazioni più semplici utilizzando la scomposizione in frazioni parziali.

$\frac{1}{x}+\frac{-1}{x+1}$
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Espandere l'integrale $\int\left(\frac{1}{x}+\frac{-1}{x+1}\right)dx$ in $2$ integrali utilizzando la regola della somma degli integrali, per poi risolvere ogni integrale separatamente

$\int\frac{1}{x}dx+\int\frac{-1}{x+1}dx$
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Possiamo risolvere l'integrale $\int\frac{-1}{x+1}dx$ applicando il metodo dell'integrazione per sostituzione (detto anche U-Substitution). Per prima cosa, dobbiamo identificare una sezione all'interno dell'integrale con una nuova variabile (chiamiamola $u$), che sostituita rende l'integrale più semplice. Vediamo che $x+1$ è un buon candidato per la sostituzione. Definiamo la variabile $u$ e assegniamola alla parte prescelta

$u=x+1$

Differenziare entrambi i lati dell'equazione $u=x+1$

$du=\frac{d}{dx}\left(x+1\right)$

Trovare la derivata

$\frac{d}{dx}\left(x+1\right)$

La derivata di una somma di due o più funzioni è la somma delle derivate di ciascuna funzione.

$\frac{d}{dx}\left(x\right)+\frac{d}{dx}\left(1\right)$

Applicare la formula: $\frac{d}{dx}\left(c\right)$$=0$, dove $c=1$

$\frac{d}{dx}\left(x\right)$

Applicare la formula: $\frac{d}{dx}\left(x\right)$$=1$

$1$
5

Ora, per riscrivere $dx$ in termini di $du$, dobbiamo trovare la derivata di $u$. Dobbiamo calcolare $du$, e lo possiamo fare derivando l'equazione di cui sopra

$du=dx$
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Sostituendo $u$ e $dx$ nell'integrale e semplificando

$\int\frac{1}{x}dx+\int\frac{-1}{u}du$

Applicare la formula: $\int\frac{n}{x}dx$$=n\ln\left(x\right)+C$, dove $n=1$

$\ln\left|x\right|$
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L'integrale $\int\frac{1}{x}dx$ risulta in: $\ln\left(x\right)$

$\ln\left(x\right)$

Applicare la formula: $\int\frac{n}{x}dx$$=n\ln\left(x\right)+C$, dove $x=u$ e $n=-1$

$-\ln\left|u\right|$

Sostituire $u$ con il valore che gli abbiamo assegnato all'inizio: $x+1$

$-\ln\left|x+1\right|$
8

L'integrale $\int\frac{-1}{u}du$ risulta in: $-\ln\left(x+1\right)$

$-\ln\left(x+1\right)$
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Raccogliere i risultati di tutti gli integrali

$\ln\left|x\right|-\ln\left|x+1\right|$
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Poiché l'integrale che stiamo risolvendo è un integrale indefinito, quando finiamo di integrare dobbiamo aggiungere la costante di integrazione $C$

$\ln\left|x\right|-\ln\left|x+1\right|+C_0$

Endgültige Antwort auf das Problem

$\ln\left|x\right|-\ln\left|x+1\right|+C_0$

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