Mit unserem Integrale durch partielle Bruchrechnung Schritt-für-Schritt-Rechner erhalten Sie detaillierte Lösungen für Ihre mathematischen Probleme. Üben Sie Ihre mathematischen Fähigkeiten und lernen Sie Schritt für Schritt mit unserem Mathe-Löser. Alle unsere Online-Rechner finden Sie hier.
Ici, nous vous montrons un exemple résolu étape par étape de intégrales par expansion de fractions partielles. Cette solution a été générée automatiquement par notre calculatrice intelligente :
∫x(x+1)1dx
Zwischenschritte
Réécrire la fraction x(x+1)1 en 2 fractions plus simples à l'aide de la décomposition partielle des fractions
x(x+1)1=xA+x+1B
Trouvez les valeurs des coefficients inconnus : A,B. La première étape consiste à multiplier les deux côtés de l'équation de l'étape précédente par x(x+1)
1=x(x+1)(xA+x+1B)
Multiplication de polynômes
1=xx(x+1)A+x+1x(x+1)B
Simplifier
1=(x+1)A+xB
En attribuant des valeurs à x, nous obtenons le système d'équations suivant
1=A1=−B(x=0)(x=−1)
Procédez à la résolution du système d'équations linéaires
1A0A+−0B1B=1=1
Réécriture sous forme de matrice de coefficients
(100−111)
Réduire la matrice originale à une matrice identité en utilisant l'élimination gaussienne
(10011−1)
L'intégrale de x(x+1)1 en fractions décomposées est égale à
x1+x+1−1
2
Réécrire la fraction x(x+1)1 en 2 fractions plus simples à l'aide de la décomposition partielle des fractions
x1+x+1−1
3
Développez l'intégrale ∫(x1+x+1−1)dx en intégrales 2 à l'aide de la règle de la somme des intégrales, pour ensuite résoudre chaque intégrale séparément.
∫x1dx+∫x+1−1dx
4
Nous pouvons résoudre l'intégrale ∫x+1−1dx en appliquant la méthode d'intégration par substitution (également appelée substitution en U). Tout d'abord, nous devons identifier une section de l'intégrale avec une nouvelle variable (appelons-la u), qui, une fois substituée, rend l'intégrale plus facile. Nous voyons que x+1 est un bon candidat pour la substitution. Définissons une variable u et assignons-la à la partie choisie
u=x+1
Zwischenschritte
Différencier les deux côtés de l'équation u=x+1
du=dxd(x+1)
Trouver la dérivée
dxd(x+1)
La dérivée d'une somme de deux fonctions ou plus est la somme des dérivées de chaque fonction.
dxd(x)+dxd(1)
Appliquer la formule : dxd(c)=0, où c=1
dxd(x)
Appliquer la formule : dxd(x)=1
1
5
Maintenant, pour réécrire dx en termes de du, nous devons trouver la dérivée de u. Nous devons calculer du, ce que nous pouvons faire en dérivant l'équation ci-dessus.
du=dx
6
En substituant u et dx dans l'intégrale et en simplifiant
∫x1dx+∫u−1du
Zwischenschritte
Appliquer la formule : ∫xndx=nln(x)+C, où n=1
ln∣x∣
7
L'intégrale ∫x1dx se traduit par : ln(x)
ln(x)
Zwischenschritte
Appliquer la formule : ∫xndx=nln(x)+C, où x=u et n=−1
−ln∣u∣
Remplacez u par la valeur que nous lui avons attribuée au début : x+1
−ln∣x+1∣
8
L'intégrale ∫u−1du se traduit par : −ln(x+1)
−ln(x+1)
9
Rassembler les résultats de toutes les intégrales
ln∣x∣−ln∣x+1∣
10
Comme l'intégrale que nous résolvons est une intégrale indéfinie, lorsque nous terminons l'intégration, nous devons ajouter la constante d'intégration C
ln∣x∣−ln∣x+1∣+C0
Endgültige Antwort auf das Problem
ln∣x∣−ln∣x+1∣+C0
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