Qui vi mostriamo un esempio di soluzione passo-passo di integrali per espansione di frazione parziale. Questa soluzione è stata generata automaticamente dalla nostra calcolatrice intelligente:
Riscrivere la frazione $\frac{1}{x\left(x+1\right)}$ in $2$ frazioni più semplici utilizzando la scomposizione in frazioni parziali.
Trovare i valori dei coefficienti incogniti: $A, B$. Il primo passo consiste nel moltiplicare entrambi i lati dell'equazione del passo precedente per $x\left(x+1\right)$
Moltiplicazione di polinomi
Semplificare
Assegnando i valori a $x$ si ottiene il seguente sistema di equazioni
Procedere alla risoluzione del sistema di equazioni lineari
Riscrivere come matrice di coefficienti
Ridurre la matrice originale a una matrice identità utilizzando l'eliminazione gaussiana
L'integrale di $\frac{1}{x\left(x+1\right)}$ in frazioni scomposte è uguale a
Riscrivere la frazione $\frac{1}{x\left(x+1\right)}$ in $2$ frazioni più semplici utilizzando la scomposizione in frazioni parziali.
Espandere l'integrale $\int\left(\frac{1}{x}+\frac{-1}{x+1}\right)dx$ in $2$ integrali utilizzando la regola della somma degli integrali, per poi risolvere ogni integrale separatamente
Possiamo risolvere l'integrale $\int\frac{-1}{x+1}dx$ applicando il metodo dell'integrazione per sostituzione (detto anche U-Substitution). Per prima cosa, dobbiamo identificare una sezione all'interno dell'integrale con una nuova variabile (chiamiamola $u$), che sostituita rende l'integrale più semplice. Vediamo che $x+1$ è un buon candidato per la sostituzione. Definiamo la variabile $u$ e assegniamola alla parte prescelta
Differenziare entrambi i lati dell'equazione $u=x+1$
Trovare la derivata
La derivata di una somma di due o più funzioni è la somma delle derivate di ciascuna funzione.
Applicare la formula: $\frac{d}{dx}\left(c\right)$$=0$, dove $c=1$
Applicare la formula: $\frac{d}{dx}\left(x\right)$$=1$
Ora, per riscrivere $dx$ in termini di $du$, dobbiamo trovare la derivata di $u$. Dobbiamo calcolare $du$, e lo possiamo fare derivando l'equazione di cui sopra
Sostituendo $u$ e $dx$ nell'integrale e semplificando
Applicare la formula: $\int\frac{n}{x}dx$$=n\ln\left(x\right)+C$, dove $n=1$
L'integrale $\int\frac{1}{x}dx$ risulta in: $\ln\left(x\right)$
Applicare la formula: $\int\frac{n}{x}dx$$=n\ln\left(x\right)+C$, dove $x=u$ e $n=-1$
Sostituire $u$ con il valore che gli abbiamo assegnato all'inizio: $x+1$
L'integrale $\int\frac{-1}{u}du$ risulta in: $-\ln\left(x+1\right)$
Raccogliere i risultati di tutti gli integrali
Poiché l'integrale che stiamo risolvendo è un integrale indefinito, quando finiamo di integrare dobbiamo aggiungere la costante di integrazione $C$
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