Qui vi mostriamo un esempio di soluzione passo-passo di equazione differenziale omogenea. Questa soluzione è stata generata automaticamente dalla nostra calcolatrice intelligente:
Possiamo individuare che l'equazione differenziale $\frac{dy}{dx}=\frac{-\left(4x+3y\right)}{2x+y}$ è omogenea, poiché è scritta nella forma standard $\frac{dy}{dx}=\frac{M(x,y)}{N(x,y)}$, dove $M(x,y)$ e $N(x,y)$ sono le derivate parziali di una funzione a due variabili $f(x,y)$ ed entrambe sono funzioni omogenee dello stesso grado
Utilizzare la sostituzione: $y=ux$
Fattorizzare il polinomio $2x+ux$ con il suo massimo fattore comune (GCF): $x$
Fattorizzare il polinomio $\left(4x+3ux\right)$ con il suo massimo fattore comune (GCF): $x$
Applicare la formula: $\frac{a}{a}$$=1$, dove $a=x$ e $a/a=\frac{-x\left(4+3u\right)}{x\left(2+u\right)}$
Espandere la frazione $\frac{u\cdot dx+x\cdot du}{dx}$ in $2$ frazioni più semplici con denominatore comune. $dx$
Semplificare le frazioni risultanti
Moltiplicare il termine singolo $-1$ per ciascun termine del polinomio $\left(4+3u\right)$
Applicare la formula: $x+a=b$$\to x=b-a$, dove $a=u$, $b=\frac{-4-3u}{2+u}$, $x+a=b=u+\frac{x\cdot du}{dx}=\frac{-4-3u}{2+u}$, $x=\frac{x\cdot du}{dx}$ e $x+a=u+\frac{x\cdot du}{dx}$
Unire tutti i termini in un'unica frazione con $2+u$ come denominatore comune.
Combinazione di termini simili $-3u$ e $-2u$
Raggruppare i termini dell'equazione differenziale. Spostate i termini della variabile $u$ sul lato sinistro e i termini della variabile $x$ sul lato destro dell'uguaglianza.
Semplificare l'espressione $\frac{2+u}{-4-5u-u^2}du$
Espandere e semplificare
Applicare la formula: $b\cdot dy=a\cdot dx$$\to \int bdy=\int adx$, dove $a=\frac{1}{x}$, $b=\frac{2+u}{-\left(u+1\right)\left(u+4\right)}$, $dy=du$, $dyb=dxa=\frac{2+u}{-\left(u+1\right)\left(u+4\right)}du=\frac{1}{x}dx$, $dyb=\frac{2+u}{-\left(u+1\right)\left(u+4\right)}du$ e $dxa=\frac{1}{x}dx$
Applicare la formula: $\int \frac{a}{bc}dx$$=\frac{1}{c}\int \frac{a}{b}dx$, dove $a=2+u$, $b=\left(u+1\right)\left(u+4\right)$ e $c=-1$
Riscrivere la frazione $\frac{2+u}{\left(u+1\right)\left(u+4\right)}$ in $2$ frazioni più semplici utilizzando la scomposizione in frazioni parziali.
Espandere l'integrale $\int\left(\frac{1}{3\left(u+1\right)}+\frac{2}{3\left(u+4\right)}\right)du$ in $2$ integrali utilizzando la regola della somma degli integrali, per poi risolvere ogni integrale separatamente
Applicare la formula: $\int \frac{a}{bc}dx$$=\frac{1}{c}\int \frac{a}{b}dx$, dove $a=1$, $b=u+1$ e $c=3$
Applicare la formula: $\frac{a}{b}c$$=\frac{ca}{b}$, dove $a=1$, $b=3$, $c=-1$, $a/b=\frac{1}{3}$ e $ca/b=- \left(\frac{1}{3}\right)\int \frac{1}{u+1}du$
Applicare la formula: $\int \frac{a}{bc}dx$$=\frac{1}{c}\int \frac{a}{b}dx$, dove $a=2$, $b=u+4$ e $c=3$
Applicare la formula: $\frac{a}{b}c$$=\frac{ca}{b}$, dove $a=1$, $b=3$, $c=-1$, $a/b=\frac{1}{3}$ e $ca/b=- \left(\frac{1}{3}\right)\int \frac{2}{u+4}du$
Applicare la formula: $\int \frac{n}{a+b}dx$$=n\int \frac{1}{a+b}dx$, dove $a=4$, $b=u$ e $n=2$
Applicare la formula: $\frac{a}{b}c$$=\frac{ca}{b}$, dove $a=-1$, $b=3$, $c=2$, $a/b=-\frac{1}{3}$ e $ca/b=2\left(-\frac{1}{3}\right)\int \frac{1}{4+u}du$
Possiamo risolvere l'integrale $\int \frac{1}{u+1}du$ applicando il metodo dell'integrazione per sostituzione (detto anche U-Substitution). Per prima cosa, dobbiamo identificare una sezione all'interno dell'integrale con una nuova variabile (chiamiamola $v$), che sostituita rende l'integrale più semplice. Vediamo che $u+1$ è un buon candidato per la sostituzione. Definiamo la variabile $v$ e assegniamola alla parte prescelta
Ora, per riscrivere $du$ in termini di $dv$, dobbiamo trovare la derivata di $v$. Dobbiamo calcolare $dv$, e lo possiamo fare derivando l'equazione di cui sopra
Sostituendo $v$ e $du$ nell'integrale e semplificando
Applicare la formula: $\int \frac{n}{x}dx$$=n\ln\left(x\right)+C$, dove $x=v$ e $n=1$
Sostituire $v$ con il valore che gli abbiamo assegnato all'inizio: $u+1$
Possiamo risolvere l'integrale $\int \frac{1}{4+u}du$ applicando il metodo dell'integrazione per sostituzione (detto anche U-Substitution). Per prima cosa, dobbiamo identificare una sezione all'interno dell'integrale con una nuova variabile (chiamiamola $v$), che sostituita rende l'integrale più semplice. Vediamo che $4+u$ è un buon candidato per la sostituzione. Definiamo la variabile $v$ e assegniamola alla parte prescelta
Ora, per riscrivere $du$ in termini di $dv$, dobbiamo trovare la derivata di $v$. Dobbiamo calcolare $dv$, e lo possiamo fare derivando l'equazione di cui sopra
Sostituendo $v$ e $du$ nell'integrale e semplificando
Applicare la formula: $\int \frac{n}{x}dx$$=n\ln\left(x\right)+C$, dove $x=v$ e $n=1$
Sostituire $v$ con il valore che gli abbiamo assegnato all'inizio: $4+u$
Risolvere l'integrale $\int \frac{2+u}{-\left(u+1\right)\left(u+4\right)}du$ e sostituire il risultato con l'equazione differenziale
Applicare la formula: $\int \frac{n}{x}dx$$=n\ln\left(x\right)+C$, dove $n=1$
Poiché l'integrale che stiamo risolvendo è un integrale indefinito, quando finiamo di integrare dobbiamo aggiungere la costante di integrazione $C$
Risolvere l'integrale $\int \frac{1}{x}dx$ e sostituire il risultato con l'equazione differenziale
Sostituire $u$ con il valore $\frac{y}{x}$
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