Ici, nous vous montrons un exemple résolu étape par étape de intégration cyclique par parties. Cette solution a été générée automatiquement par notre calculatrice intelligente :
Nous pouvons résoudre l'intégrale $\int e^x\sin\left(3x\right)dx$ en appliquant la méthode d'intégration par parties pour calculer l'intégrale du produit de deux fonctions, à l'aide de la formule suivante
Appliquer l'identité trigonométrique : $\frac{d}{dx}\left(\sin\left(\theta \right)\right)$$=\frac{d}{dx}\left(\theta \right)\cos\left(\theta \right)$, où $x=3x$
Appliquer la formule : $\frac{d}{dx}\left(nx\right)$$=n\frac{d}{dx}\left(x\right)$, où $n=3$
Appliquer la formule : $\frac{d}{dx}\left(x\right)$$=1$
Tout d'abord, identifiez ou choisissez $u$ et calculez sa dérivée, $du$
Identifiez maintenant $dv$ et calculez $v$
Résoudre l'intégrale pour trouver $v$
Appliquer la formule : $\int e^xdx$$=e^x+C$
Appliquer la formule : $\int cxdx$$=c\int xdx$, où $c=3$ et $x=e^x\cos\left(3x\right)$
Remplacez maintenant les valeurs de $u$, $du$ et $v$ dans la dernière formule
Nous pouvons résoudre l'intégrale $\int e^x\cos\left(3x\right)dx$ en appliquant la méthode d'intégration par parties pour calculer l'intégrale du produit de deux fonctions, à l'aide de la formule suivante
Tout d'abord, identifiez ou choisissez $u$ et calculez sa dérivée, $du$
Identifiez maintenant $dv$ et calculez $v$
Résoudre l'intégrale pour trouver $v$
Appliquer la formule : $\int e^xdx$$=e^x+C$
Remplacez maintenant les valeurs de $u$, $du$ et $v$ dans la dernière formule
Multipliez le terme unique $-3$ par chaque terme du polynôme $\left(e^x\cos\left(3x\right)+3\int e^x\sin\left(3x\right)dx\right)$
L'intégrale $-3\int e^x\cos\left(3x\right)dx$ se traduit par : $-3e^x\cos\left(3x\right)-9\int e^x\sin\left(3x\right)dx$
Cette intégrale par parties s'est avérée être une intégrale cyclique (l'intégrale que nous calculons est réapparue dans le côté droit de l'équation). Nous pouvons la passer du côté gauche de l'équation avec le signe opposé
Déplacement de l'intégrale cyclique vers le côté gauche de l'équation
Addition des intégrales
Déplacez le terme constant $10$ en le divisant de l'autre côté de l'équation.
L'intégrale donne
Rassembler les résultats de toutes les intégrales
Comme l'intégrale que nous résolvons est une intégrale indéfinie, lorsque nous terminons l'intégration, nous devons ajouter la constante d'intégration $C$
Multipliez le terme unique $\frac{1}{10}$ par chaque terme du polynôme $\left(e^x\sin\left(3x\right)-3e^x\cos\left(3x\right)\right)$
Simplifier
Élargir et simplifier
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