Matrizen Rechner

Umschreiben des Bruchs $\frac{1}{x\left(x^2+x+1\right)}$ in $2$ einfachere Brüche durch partielle Bruchzerlegung

Ermitteln Sie die Werte für die unbekannten Koeffizienten: $A, B, C$. Der erste Schritt ist die Multiplikation beider Seiten der Gleichung aus dem vorherigen Schritt mit $x\left(x^2+x+1\right)$

Multiplikation von Polynomen

Vereinfachung

Indem wir $x$ Werte zuweisen, erhalten wir das folgende System von Gleichungen

Lösen Sie nun das lineare Gleichungssystem

Umschreiben in eine Koeffizientenmatrix

Reduktion der Originalmatrix auf eine Identitätsmatrix mit Hilfe der Gaußschen Eliminierung

Das Integral von $\frac{1}{x\left(x^2+x+1\right)}$ in zerlegten Brüchen ist gleich

Wenden Sie die Formel an: $\int\frac{n}{x}dx$$=n\ln\left(x\right)+C$, wobei $n=1$

Wenden Sie die Formel an: $\int\frac{a}{b}dx$$=-\int\frac{\left|a\right|}{b}dx$, wobei $a=-x-1$ und $b=x^2+x+1$

Wenden Sie die Formel an: $x^2+x+c$$=x^2+x+c+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}$, wobei $c=1$

Wenden Sie die Formel an: $x^2+x+c+f+g$$=\left(x+\sqrt{f}\right)^2+c+g$, wobei $c=1$, $f=\frac{1}{4}$, $g=-\frac{1}{4}$ und $x^2+x=x^2+x+1+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}$

Wenden Sie die Formel an: $a^b$$=a^b$, wobei $a=\frac{1}{4}$, $b=\frac{1}{2}$ und $a^b=\sqrt{\frac{1}{4}}$

Wenden Sie die Formel an: $\frac{a}{b}+c$$=\frac{a+cb}{b}$, wobei $a/b+c=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+1-\frac{1}{4}$, $a=-1$, $b=4$, $c=1$ und $a/b=-\frac{1}{4}$

Wenden Sie die Formel an: $ab$$=ab$, wobei $ab=1\cdot 4$, $a=1$ und $b=4$

Wenden Sie die Formel an: $a+b$$=a+b$, wobei $a=4$, $b=-1$ und $a+b=-1+4$

Wir können das Integral $\int\frac{x+1}{\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}dx$ lösen, indem wir die Methode der Integration durch Substitution (auch U-Substitution genannt) anwenden. Zunächst müssen wir einen Abschnitt innerhalb des Integrals mit einer neuen Variablen identifizieren (nennen wir sie $u$), die, wenn sie substituiert wird, das Integral einfacher macht. Wir sehen, dass $x+\frac{1}{2}$ ein guter Kandidat für die Substitution ist. Definieren wir eine Variable $u$ und weisen sie dem gewählten Teil zu

Um nun $dx$ in $du$ umzuschreiben, müssen wir die Ableitung von $u$ finden. Um $du$ zu berechnen, können wir die obige Gleichung ableiten

Umformulierung von $x$ im Sinne von $u$

Setzen Sie $u$, $dx$ und $x$ in das Integral ein und vereinfachen Sie

Erweitern Sie den Bruch $\frac{u+\frac{1}{2}}{u^2+\frac{3}{4}}$ in $2$ einfachere Brüche mit gemeinsamem Nenner $u^2+\frac{3}{4}$

Erweitern Sie das Integral $\int\left(\frac{u}{u^2+\frac{3}{4}}+\frac{\frac{1}{2}}{u^2+\frac{3}{4}}\right)du$ mit Hilfe der Summenregel für Integrale in $2$ Integrale, um dann jedes Integral einzeln zu lösen

Wenden Sie die Formel an: $\int\frac{n}{a}dx$$=n\int\frac{1}{a}dx$, wobei $a=u^2+\frac{3}{4}$ und $n=\frac{1}{2}$

Wenden Sie die Formel an: $\frac{a}{b}c$$=\frac{ca}{b}$, wobei $a=1$, $b=2$, $c=-1$, $a/b=\frac{1}{2}$ und $ca/b=- \left(\frac{1}{2}\right)\int\frac{1}{u^2+\frac{3}{4}}du$

Wenden Sie die Formel an: $\int\frac{1}{a+b^2}dx$$=\frac{1}{a}\int\frac{1}{1+\frac{b^2}{a}}dx$, wobei $a=\frac{3}{4}$ und $b=u$

Vereinfachen Sie den Ausdruck

Wir können das Integral $-\int\frac{u}{u^2+\frac{3}{4}}du$ durch Anwendung der Integrationsmethode der trigonometrischen Substitution lösen, indem wir die Substitution

Um nun $d\theta$ in $du$ umzuschreiben, müssen wir die Ableitung von $u$ finden. Um $du$ zu berechnen, können wir die obige Gleichung ableiten

Setzt man das ursprüngliche Integral ein, erhält man

Vereinfachung

Vereinfachen Sie den Ausdruck

Wenden Sie die Formel an: $\int\frac{n}{a+b}dx$$=n\int\frac{1}{a+b}dx$, wobei $a=3$, $b=4u^2$ und $n=3$

Wenden Sie die Formel an: $\frac{a}{b}c$$=\frac{ca}{b}$, wobei $a=-2$, $b=3$, $c=3$, $a/b=-\frac{2}{3}$ und $ca/b=3\left(-\frac{2}{3}\right)\int\frac{1}{3+4u^2}du$

Wenden Sie die Formel an: $\int\tan\left(\theta \right)dx$$=-\ln\left(\cos\left(\theta \right)\right)+C$, wobei $x=\theta $

Wenden Sie die Formel an: $1x$$=x$, wobei $x=\ln\left(\cos\left(\theta \right)\right)$

Drücken Sie die Variable $\theta$ in Form der ursprünglichen Variable aus $x$

Wenden Sie die Formel an: $\frac{\frac{a}{b}}{c}$$=\frac{a}{bc}$, wobei $a=\sqrt{3}$, $b=2$, $c=\sqrt{u^2+\frac{3}{4}}$, $a/b/c=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{u^2+\frac{3}{4}}}$ und $a/b=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Ersetzen Sie $u$ durch den Wert, den wir ihm am Anfang zugewiesen haben: $x+\frac{1}{2}$

Lösen Sie das Integral durch Anwendung der Substitution $v^2=\frac{4u^2}{3}$. Nehmen Sie dann die Quadratwurzel aus beiden Seiten, vereinfacht ergibt sich

Um nun $du$ in $dv$ umzuschreiben, müssen wir die Ableitung von $v$ finden. Um $dv$ zu berechnen, können wir die obige Gleichung ableiten

Isolieren Sie $du$ in der vorherigen Gleichung

Nachdem alles ersetzt und vereinfacht wurde, ergibt das Integral

Wenden Sie die Formel an: $\int\frac{n}{x^2+b}dx$$=\frac{n}{\sqrt{b}}\arctan\left(\frac{x}{\sqrt{b}}\right)+C$, wobei $b=1$, $x=v$ und $n=1$

Wenden Sie die Formel an: $a\frac{b}{c}$$=\frac{ba}{c}$, wobei $a=\arctan\left(v\right)$, $b=-\sqrt{3}$ und $c=3$

Ersetzen Sie $v$ durch den Wert, den wir ihm am Anfang zugewiesen haben: $\frac{2u}{\sqrt{3}}$

Ersetzen Sie $u$ durch den Wert, den wir ihm am Anfang zugewiesen haben: $x+\frac{1}{2}$

Wenden Sie die Formel an: $x\left(\frac{a}{x}+b\right)$$=a+bx$, wobei $a=1$, $b=x$ und $x=2$