Hier zeigen wir Ihnen Schritt für Schritt ein gelöstes Beispiel für lineare differentialgleichung. Diese Lösung wurde automatisch von unserem intelligenten Taschenrechner generiert:
Wir können erkennen, dass die Differentialgleichung die Form hat: $\frac{dy}{dx} + P(x)\cdot y(x) = Q(x)$, so dass wir sie als lineare Differentialgleichung erster Ordnung einstufen können, wobei $P(x)=2$ und $Q(x)=x$. Um die Differentialgleichung zu lösen, müssen wir zunächst den integrierenden Faktor finden $\mu(x)$
Berechnen Sie das Integral
Wenden Sie die Formel an: $\int cdx$$=cvar+C$, wobei $c=2$
Um $\mu(x)$ zu finden, müssen wir zunächst Folgendes berechnen $\int P(x)dx$
Der integrierende Faktor $\mu(x)$ ist also
Multiplizieren Sie nun alle Terme der Differentialgleichung mit dem integrierenden Faktor $\mu(x)$ und prüfen Sie, ob sich die Gleichung vereinfachen lässt
Wir können erkennen, dass die linke Seite der Differentialgleichung aus der Ableitung des Produkts von $\mu(x)\cdot y(x)$
Integrieren Sie beide Seiten der Differentialgleichung in Bezug auf $dx$
Vereinfachen Sie die linke Seite der Differentialgleichung
Wir können das Integral $\int xe^{2x}dx$ lösen, indem wir die Methode der Integration durch Teile anwenden, um das Integral des Produkts zweier Funktionen mit der folgenden Formel zu berechnen
Identifizieren oder wählen Sie zunächst $u$ und berechnen Sie die Ableitung, $du$
Identifizieren Sie nun $dv$ und berechnen Sie $v$
Lösen Sie das Integral und finden Sie $v$
Wir können das Integral $\int e^{2x}dx$ lösen, indem wir die Methode der Integration durch Substitution (auch U-Substitution genannt) anwenden. Zunächst müssen wir einen Abschnitt innerhalb des Integrals mit einer neuen Variablen identifizieren (nennen wir sie $u$), die, wenn sie substituiert wird, das Integral einfacher macht. Wir sehen, dass $2x$ ein guter Kandidat für die Substitution ist. Definieren wir eine Variable $u$ und weisen sie dem gewählten Teil zu
Um nun $dx$ in $du$ umzuschreiben, müssen wir die Ableitung von $u$ finden. Um $du$ zu berechnen, können wir die obige Gleichung ableiten
Isolieren Sie $dx$ in der vorherigen Gleichung
Setzen Sie $u$ und $dx$ in das Integral ein und vereinfachen Sie
Wenden Sie die Formel an: $\int \frac{x}{c}dx$$=\frac{1}{c}\int xdx$, wobei $c=2$ und $x=e^u$
Wenden Sie die Formel an: $\int e^xdx$$=e^x+C$, wobei $x=u$
Ersetzen Sie $u$ durch den Wert, den wir ihm am Anfang zugewiesen haben: $2x$
Ersetzen Sie nun die Werte von $u$, $du$ und $v$ in der letzten Formel
Wir können das Integral $\int e^{2x}dx$ lösen, indem wir die Methode der Integration durch Substitution (auch U-Substitution genannt) anwenden. Zunächst müssen wir einen Abschnitt innerhalb des Integrals mit einer neuen Variablen identifizieren (nennen wir sie $u$), die, wenn sie substituiert wird, das Integral einfacher macht. Wir sehen, dass $2x$ ein guter Kandidat für die Substitution ist. Definieren wir eine Variable $u$ und weisen sie dem gewählten Teil zu
Um nun $dx$ in $du$ umzuschreiben, müssen wir die Ableitung von $u$ finden. Um $du$ zu berechnen, können wir die obige Gleichung ableiten
Isolieren Sie $dx$ in der vorherigen Gleichung
Setzen Sie $u$ und $dx$ in das Integral ein und vereinfachen Sie
Wenden Sie die Formel an: $\int \frac{x}{c}dx$$=\frac{1}{c}\int xdx$, wobei $c=2$ und $x=e^u$
Wenden Sie die Formel an: $\frac{a}{b}\frac{c}{f}$$=\frac{ac}{bf}$, wobei $a=-1$, $b=2$, $c=1$, $a/b=-\frac{1}{2}$, $f=2$, $c/f=\frac{1}{2}$ und $a/bc/f=-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\int e^udu$
Wenden Sie die Formel an: $\int e^xdx$$=e^x+C$, wobei $x=u$
Ersetzen Sie $u$ durch den Wert, den wir ihm am Anfang zugewiesen haben: $2x$
Da das Integral, das wir lösen, ein unbestimmtes Integral ist, müssen wir am Ende der Integration die Integrationskonstante hinzufügen $C$
Lösen Sie das Integral $\int xe^{2x}dx$ und setzen Sie das Ergebnis in die Differentialgleichung ein
Wenden Sie die Formel an: $a\frac{b}{c}$$=\frac{ba}{c}$, wobei $a=e^{2x}x$, $b=1$ und $c=2$
Wenden Sie die Formel an: $1x$$=x$, wobei $x=e^{2x}x$
Wenden Sie die Formel an: $a\frac{b}{c}$$=\frac{ba}{c}$, wobei $a=e^{2x}$, $b=-1$ und $c=4$
Wenden Sie die Formel an: $a\frac{b}{c}$$=\frac{ba}{c}$, wobei $a=e^{2x}x$, $b=1$ und $c=2$
Wenden Sie die Formel an: $1x$$=x$, wobei $x=e^{2x}x$
Wenden Sie die Formel an: $a^nx=b$$\to x=a^{-n}b$, wobei $a^n=e^{2x}$, $a=e$, $b=\frac{e^{2x}x}{2}+\frac{-e^{2x}}{4}+C_0$, $x=y$, $a^nx=b=e^{2x}y=\frac{e^{2x}x}{2}+\frac{-e^{2x}}{4}+C_0$, $a^nx=e^{2x}y$ und $n=2x$
Finden Sie die explizite Lösung der Differentialgleichung. Wir müssen die Variable isolieren $y$
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