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Übung

$\frac{dy}{dx}=24+18x+28y+21xy$

Schritt-für-Schritt-Lösung

1

Stellen Sie die Differentialgleichung um

$\frac{dy}{dx}-\left(28y+18x+21xy\right)=24$
2

Vereinfachung

$\frac{dy}{dx}-28y-18x-21xy=24$
3

Wir können erkennen, dass die Differentialgleichung die Form hat: $\frac{dy}{dx} + P(x)\cdot y(x) = Q(x)$, so dass wir sie als lineare Differentialgleichung erster Ordnung einstufen können, wobei $P(x)=-28$ und $Q(x)=24$. Um die Differentialgleichung zu lösen, müssen wir zunächst den integrierenden Faktor finden $\mu(x)$

$\displaystyle\mu\left(x\right)=e^{\int P(x)dx}$
4

Um $\mu(x)$ zu finden, müssen wir zunächst Folgendes berechnen $\int P(x)dx$

$\int P(x)dx=\int-28dx=-28x$
5

Der integrierende Faktor $\mu(x)$ ist also

$\mu(x)=e^{-28x}$
6

Multiplizieren Sie nun alle Terme der Differentialgleichung mit dem integrierenden Faktor $\mu(x)$ und prüfen Sie, ob sich die Gleichung vereinfachen lässt

$\frac{dy}{dx}e^{-28x}-28ye^{-28x}-18x-21xy=24e^{-28x}$
7

Wir können erkennen, dass die linke Seite der Differentialgleichung aus der Ableitung des Produkts von $\mu(x)\cdot y(x)$

$\frac{d}{dx}\left(e^{-28x}y\right)=24e^{-28x}$
8

Integrieren Sie beide Seiten der Differentialgleichung in Bezug auf $dx$

$\int\frac{d}{dx}\left(e^{-28x}y\right)dx=\int24e^{-28x}dx$
9

Vereinfachen Sie die linke Seite der Differentialgleichung

$e^{-28x}y=\int24e^{-28x}dx$
10

Lösen Sie das Integral $\int24e^{-28x}dx$ und setzen Sie das Ergebnis in die Differentialgleichung ein

$e^{-28x}y=\frac{-6}{7e^{28x}}+C_0$
11

Wenden Sie die Formel an: $x^a$$=\frac{1}{x^{\left|a\right|}}$

$\frac{1}{e^{28x}}y=\frac{-6}{7e^{28x}}+C_0$
12

Wenden Sie die Formel an: $a\frac{b}{x}$$=\frac{ab}{x}$

$\frac{y}{e^{28x}}=\frac{-6}{7e^{28x}}+C_0$
13

Finden Sie die explizite Lösung der Differentialgleichung. Wir müssen die Variable isolieren $y$

$y=\left(\frac{-6}{7e^{28x}}+C_0\right)e^{28x}$

Endgültige Antwort auf das Problem

$y=\left(\frac{-6}{7e^{28x}}+C_0\right)e^{28x}$

Wie sollte ich dieses Problem lösen?

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  • Exakte Differentialgleichung
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  • Trennbare Differentialgleichungen
  • Homogene Differentialgleichung
  • Produkt von Binomischen mit gemeinsamem Term
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