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Übung

$\frac{dy}{dx}+\frac{3}{x}y=\frac{1}{x^2}$

Schritt-für-Schritt-Lösung

1

Wenden Sie die Formel an: $a\frac{b}{c}$$=\frac{ba}{c}$, wobei $a=y$, $b=3$ und $c=x$

$\frac{dy}{dx}+\frac{3y}{x}=\frac{1}{x^2}$
2

Wir können erkennen, dass die Differentialgleichung die Form hat: $\frac{dy}{dx} + P(x)\cdot y(x) = Q(x)$, so dass wir sie als lineare Differentialgleichung erster Ordnung einstufen können, wobei $P(x)=\frac{3}{x}$ und $Q(x)=\frac{1}{x^2}$. Um die Differentialgleichung zu lösen, müssen wir zunächst den integrierenden Faktor finden $\mu(x)$

$\displaystyle\mu\left(x\right)=e^{\int P(x)dx}$
3

Um $\mu(x)$ zu finden, müssen wir zunächst Folgendes berechnen $\int P(x)dx$

$\int P(x)dx=\int\frac{3}{x}dx=3\ln\left(x\right)$
4

Der integrierende Faktor $\mu(x)$ ist also

$\mu(x)=x^3$
5

Multiplizieren Sie nun alle Terme der Differentialgleichung mit dem integrierenden Faktor $\mu(x)$ und prüfen Sie, ob sich die Gleichung vereinfachen lässt

$\frac{dy}{dx}x^3+3yx^{2}=x$
6

Wir können erkennen, dass die linke Seite der Differentialgleichung aus der Ableitung des Produkts von $\mu(x)\cdot y(x)$

$\frac{d}{dx}\left(x^3y\right)=x$
7

Integrieren Sie beide Seiten der Differentialgleichung in Bezug auf $dx$

$\int\frac{d}{dx}\left(x^3y\right)dx=\int xdx$
8

Vereinfachen Sie die linke Seite der Differentialgleichung

$x^3y=\int xdx$
9

Lösen Sie das Integral $\int xdx$ und setzen Sie das Ergebnis in die Differentialgleichung ein

$x^3y=\frac{1}{2}x^2+C_0$
10

Finden Sie die explizite Lösung der Differentialgleichung. Wir müssen die Variable isolieren $y$

$y=\frac{x^2+C_1}{2x^3}$

Endgültige Antwort auf das Problem

$y=\frac{x^2+C_1}{2x^3}$

Wie sollte ich dieses Problem lösen?

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  • Exakte Differentialgleichung
  • Lineare Differentialgleichung
  • Trennbare Differentialgleichung
  • Homogene Differentialgleichung
  • Produkt von Binomischen mit gemeinsamem Term
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Hauptthema: Faktorisierung

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log◻
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D□x
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∫◻
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