Schreiben Sie die Differentialgleichung in Leibnizscher Notation um

Wenden Sie die Formel an: $a\frac{dy}{dx}+c=f$$\to a\frac{dy}{dx}=f-c$, wobei $a=\sin\left(x\right)+x^2e^y-1$, $c=y\cos\left(x\right)+2xe^y$ und $f=0$

Wenden Sie die Formel an: $a\frac{dy}{dx}=f$$\to \frac{dy}{dx}factor\left(a\right)=factor\left(f\right)$, wobei $a=\sin\left(x\right)+x^2e^y-1$ und $f=-\left(y\cos\left(x\right)+2xe^y\right)$

Wenden Sie die Formel an: $a\frac{dy}{dx}=c$$\to \frac{dy}{dx}=\frac{c}{a}$, wobei $a=x^2e^y+\sin\left(x\right)-1$ und $c=-\left(y\cos\left(x\right)+2xe^y\right)$

Schreiben Sie die Differentialgleichung in der Standardform um $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$

Die Differentialgleichung $x^2e^y+\sin\left(x\right)-1dy1\left(y\cos\left(x\right)+2xe^y\right)dx=0$ ist exakt, da sie in der Standardform $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$ geschrieben ist, wobei $M(x,y)$ und $N(x,y)$ die partiellen Ableitungen einer Funktion mit zwei Variablen $f(x,y)$ sind und sie den Test auf Exaktheit erfüllen: $\displaystyle\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}$. Mit anderen Worten: Ihre zweiten partiellen Ableitungen sind gleich. Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung hat die Form $f(x,y)=C$

Wir haben unsere $f(x,y)$ gefunden und sie entspricht

Die Lösung der Differentialgleichung lautet dann