Endgültige Antwort auf das Problem
Schritt-für-Schritt-Lösung
Wie sollte ich dieses Problem lösen?
- Wählen Sie eine Option
- Exakte Differentialgleichung
- Lineare Differentialgleichung
- Trennbare Differentialgleichung
- Homogene Differentialgleichung
- Produkt von Binomischen mit gemeinsamem Term
- FOIL Method
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Teilen Sie alle Terme der Differentialgleichung durch $x^3$
Wenden Sie die Formel an: $\frac{a}{a^n}$$=\frac{1}{a^{\left(n-1\right)}}$, wobei $a=x$ und $n=3$
Wenden Sie die Formel an: $\frac{a^m}{a^n}$$=a^{\left(m-n\right)}$, wobei $a^n=x^3$, $a^m=x^3$, $a=x$, $a^m/a^n=\frac{x^3}{x^3}$, $m=3$ und $n=3$
Wenden Sie die Formel an: $x^0$$=1$
Wenden Sie die Formel an: $\frac{a^m}{a^n}$$=\frac{1}{a^{\left(n-m\right)}}$, wobei $a=x$, $m=2$ und $n=3$
Wenden Sie die Formel an: $a+b$$=a+b$, wobei $a=3$, $b=-2$ und $a+b=3-2$
Wenden Sie die Formel an: $x^1$$=x$
Vereinfachung
Wir können erkennen, dass die Differentialgleichung die Form hat: $\frac{dy}{dx} + P(x)\cdot y(x) = Q(x)$, so dass wir sie als lineare Differentialgleichung erster Ordnung einstufen können, wobei $P(x)=\frac{3}{x}$ und $Q(x)=\frac{1}{x^{2}}$. Um die Differentialgleichung zu lösen, müssen wir zunächst den integrierenden Faktor finden $\mu(x)$
Berechnen Sie das Integral
Wenden Sie die Formel an: $\int\frac{n}{x}dx$$=n\ln\left(x\right)+C$, wobei $n=3$
Um $\mu(x)$ zu finden, müssen wir zunächst Folgendes berechnen $\int P(x)dx$
Wenden Sie die Formel an: $e^{a\ln\left(b\right)}$$=b^a$, wobei $a=3$, $b=x$ und $2.718281828459045=e$
Der integrierende Faktor $\mu(x)$ ist also
Wenden Sie die Formel an: $a\frac{b}{c}$$=\frac{ba}{c}$, wobei $a=x^3$, $b=3y$ und $c=x$
Wenden Sie die Formel an: $a\frac{b}{c}$$=\frac{ba}{c}$, wobei $a=x^3$, $b=1$ und $c=x^{2}$
Wenden Sie die Formel an: $1x$$=x$, wobei $x=x^3$
Wenden Sie die Formel an: $\frac{a^m}{a^n}$$=a^{\left(m-n\right)}$, wobei $a^n=x^{2}$, $a^m=x^3$, $a=x$, $a^m/a^n=\frac{x^3}{x^{2}}$, $m=3$ und $n=2$
Wenden Sie die Formel an: $\frac{a^n}{a}$$=a^{\left(n-1\right)}$, wobei $a^n/a=\frac{3yx^3}{x}$, $a^n=x^3$, $a=x$ und $n=3$
Multiplizieren Sie nun alle Terme der Differentialgleichung mit dem integrierenden Faktor $\mu(x)$ und prüfen Sie, ob sich die Gleichung vereinfachen lässt
Wir können erkennen, dass die linke Seite der Differentialgleichung aus der Ableitung des Produkts von $\mu(x)\cdot y(x)$
Integrieren Sie beide Seiten der Differentialgleichung in Bezug auf $dx$
Vereinfachen Sie die linke Seite der Differentialgleichung
Wenden Sie die Formel an: $\int xdx$$=\frac{1}{2}x^2+C$
Da das Integral, das wir lösen, ein unbestimmtes Integral ist, müssen wir am Ende der Integration die Integrationskonstante hinzufügen $C$
Lösen Sie das Integral $\int xdx$ und setzen Sie das Ergebnis in die Differentialgleichung ein
Wenden Sie die Formel an: $a\frac{b}{c}$$=\frac{ba}{c}$, wobei $a=x^2$, $b=1$ und $c=2$
Kombiniere alle Terme zu einem einzigen Bruch mit $2$ als gemeinsamen Nenner
Wenden Sie die Formel an: $nc$$=cteint$, wobei $c=C_0$, $nc=2\cdot C_0$ und $n=2$
Wenden Sie die Formel an: $xa=\frac{b}{c}$$\to x=\frac{b}{ac}$, wobei $a=x^3$, $b=x^2+C_1$, $c=2$ und $x=y$
Finden Sie die explizite Lösung der Differentialgleichung. Wir müssen die Variable isolieren $y$
