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Übung

xdydx+7y=14x\frac{dy}{dx}+7y=14

Schritt-für-Schritt-Lösung

1

Teilen Sie alle Terme der Differentialgleichung durch xx

xxdydx+7yx=14x\frac{x}{x}\frac{dy}{dx}+\frac{7y}{x}=\frac{14}{x}
2

Vereinfachung

dydx+7yx=14x\frac{dy}{dx}+\frac{7y}{x}=\frac{14}{x}
3

Wir können erkennen, dass die Differentialgleichung die Form hat: dydx+P(x)⋅y(x)=Q(x)\frac{dy}{dx} + P(x)\cdot y(x) = Q(x), so dass wir sie als lineare Differentialgleichung erster Ordnung einstufen können, wobei P(x)=7xP(x)=\frac{7}{x} und Q(x)=14xQ(x)=\frac{14}{x}. Um die Differentialgleichung zu lösen, müssen wir zunächst den integrierenden Faktor finden μ(x)\mu(x)

μ(x)=e∫P(x)dx\displaystyle\mu\left(x\right)=e^{\int P(x)dx}
4

Um μ(x)\mu(x) zu finden, müssen wir zunächst Folgendes berechnen ∫P(x)dx\int P(x)dx

∫P(x)dx=∫7xdx=7ln⁡(x)\int P(x)dx=\int\frac{7}{x}dx=7\ln\left(x\right)
5

Der integrierende Faktor μ(x)\mu(x) ist also

μ(x)=x7\mu(x)=x^7
6

Multiplizieren Sie nun alle Terme der Differentialgleichung mit dem integrierenden Faktor μ(x)\mu(x) und prüfen Sie, ob sich die Gleichung vereinfachen lässt

dydxx7+7yx6=14x6\frac{dy}{dx}x^7+7yx^{6}=14x^{6}
7

Wir können erkennen, dass die linke Seite der Differentialgleichung aus der Ableitung des Produkts von μ(x)⋅y(x)\mu(x)\cdot y(x)

ddx(x7y)=14x6\frac{d}{dx}\left(x^7y\right)=14x^{6}
8

Integrieren Sie beide Seiten der Differentialgleichung in Bezug auf dxdx

∫ddx(x7y)dx=∫14x6dx\int\frac{d}{dx}\left(x^7y\right)dx=\int14x^{6}dx
9

Vereinfachen Sie die linke Seite der Differentialgleichung

x7y=∫14x6dxx^7y=\int14x^{6}dx
10

Lösen Sie das Integral ∫14x6dx\int14x^{6}dx und setzen Sie das Ergebnis in die Differentialgleichung ein

x7y=2x7+C0x^7y=2x^{7}+C_0
11

Finden Sie die explizite Lösung der Differentialgleichung. Wir müssen die Variable isolieren yy

y=2+C0x7y=2+\frac{C_0}{x^7}

Endgültige Antwort auf das Problem

y=2+C0x7y=2+\frac{C_0}{x^7}

Wie sollte ich dieses Problem lösen?

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  • Exakte Differentialgleichung
  • Lineare Differentialgleichung
  • Trennbare Differentialgleichungen
  • Homogene Differentialgleichung
  • Produkt von Binomischen mit gemeinsamem Term
  • FOIL Method
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xdydx +7y=14
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