Die Differentialgleichung $\left(4xy+1\right)dx+\left(2x^2+\cos\left(y\right)\right)dy=0$ ist exakt, da sie in der Standardform $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$ geschrieben ist, wobei $M(x,y)$ und $N(x,y)$ die partiellen Ableitungen einer Funktion mit zwei Variablen $f(x,y)$ sind und sie den Test auf Exaktheit erfüllen: $\displaystyle\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}$. Mit anderen Worten: Ihre zweiten partiellen Ableitungen sind gleich. Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung hat die Form $f(x,y)=C$
Mit Hilfe des Exaktheitstests können wir überprüfen, ob die Differentialgleichung exakt ist
Integrieren Sie $M(x,y)$ in Bezug auf $x$ und Sie erhalten
Nehmen Sie nun die partielle Ableitung von $2yx^2+x$ nach $y$ und Sie erhalten
Setzen Sie $2x^2+\cos\left(y\right)$ und $2x^2+g'(y)$ einander gleich und isolieren Sie $g'(y)$
Finde $g(y)$ und integriere beide Seiten.
Wir haben unsere $f(x,y)$ gefunden und sie entspricht
Die Lösung der Differentialgleichung lautet dann
Gruppieren Sie die Terme der Gleichung
Wie sollte ich dieses Problem lösen?
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