Wir können das Integral $\int\sec\left(2x\right)^5dx$ lösen, indem wir die Methode der Integration durch Substitution (auch U-Substitution genannt) anwenden. Zunächst müssen wir einen Abschnitt innerhalb des Integrals mit einer neuen Variablen identifizieren (nennen wir sie $u$), die, wenn sie substituiert wird, das Integral einfacher macht. Wir sehen, dass $2x$ ein guter Kandidat für die Substitution ist. Definieren wir eine Variable $u$ und weisen sie dem gewählten Teil zu

Setzen Sie $u$ und $dx$ in das Integral ein und vereinfachen Sie

Wenden Sie die Formel an: $\int\frac{x}{c}dx$$=\frac{1}{c}\int xdx$, wobei $c=2$ und $x=\sec\left(u\right)^5$

Wenden Sie die Formel an: $\int\sec\left(\theta \right)^5dx$$=\frac{1}{4}\sec\left(\theta \right)^3\tan\left(\theta \right)+\frac{3}{8}\sec\left(\theta \right)\tan\left(\theta \right)+\frac{3}{8}\ln\left(\sec\left(\theta \right)+\tan\left(\theta \right)\right)+C$, wobei $x=u$

Wenden Sie die Formel an: $x\left(a+b\right)$$=xa+xb$, wobei $a=\frac{1}{4}\sec\left(u\right)^3\tan\left(u\right)$, $b=\frac{3}{8}\sec\left(u\right)\tan\left(u\right)+\frac{3}{8}\ln\left(\sec\left(u\right)+\tan\left(u\right)\right)$, $x=\frac{1}{2}$ und $a+b=\frac{1}{4}\sec\left(u\right)^3\tan\left(u\right)+\frac{3}{8}\sec\left(u\right)\tan\left(u\right)+\frac{3}{8}\ln\left(\sec\left(u\right)+\tan\left(u\right)\right)$

Wenden Sie die Formel an: $x\left(a+b\right)$$=xa+xb$, wobei $a=\frac{3}{8}\sec\left(u\right)\tan\left(u\right)$, $b=\frac{3}{8}\ln\left(\sec\left(u\right)+\tan\left(u\right)\right)$, $x=\frac{1}{2}$ und $a+b=\frac{3}{8}\sec\left(u\right)\tan\left(u\right)+\frac{3}{8}\ln\left(\sec\left(u\right)+\tan\left(u\right)\right)$

Da das Integral, das wir lösen, ein unbestimmtes Integral ist, müssen wir am Ende der Integration die Integrationskonstante hinzufügen $C$