Wir können das Integral $\int\left(x-7\right)^{11}\left(x+3\right)dx$ lösen, indem wir die Methode der Integration durch Substitution (auch U-Substitution genannt) anwenden. Zunächst müssen wir einen Abschnitt innerhalb des Integrals mit einer neuen Variablen identifizieren (nennen wir sie $u$), die, wenn sie substituiert wird, das Integral einfacher macht. Wir sehen, dass $x-7$ ein guter Kandidat für die Substitution ist. Definieren wir eine Variable $u$ und weisen sie dem gewählten Teil zu
Um nun $dx$ in $du$ umzuschreiben, müssen wir die Ableitung von $u$ finden. Um $du$ zu berechnen, können wir die obige Gleichung ableiten
Umformulierung von $x$ im Sinne von $u$
Setzen Sie $u$, $dx$ und $x$ in das Integral ein und vereinfachen Sie
Schreiben Sie den Integranden $u^{11}\left(u+10\right)$ in erweiterter Form um
Erweitern Sie das Integral $\int\left(u^{12}+10u^{11}\right)du$ mit Hilfe der Summenregel für Integrale in $2$ Integrale, um dann jedes Integral einzeln zu lösen
Das Integral $\int u^{12}du$ ergibt sich: $\frac{\left(x-7\right)^{13}}{13}$
Das Integral $\int10u^{11}du$ ergibt sich: $\frac{5}{6}\left(x-7\right)^{12}$
Sammeln Sie die Ergebnisse aller Integrale
Da das Integral, das wir lösen, ein unbestimmtes Integral ist, müssen wir am Ende der Integration die Integrationskonstante hinzufügen $C$
Wie sollte ich dieses Problem lösen?
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