Schreiben Sie den Ausdruck $\frac{5-x}{2x^2+x-1}$ innerhalb des Integrals in faktorisierter Form um
Wenden Sie die Formel an: $\int\frac{a}{bc}dx$$=\frac{1}{c}\int\frac{a}{b}dx$, wobei $a=5-x$, $b=\left(x+\frac{1}{4}\right)^2-\frac{9}{16}$ und $c=2$
Wir können das Integral $\int\frac{5-x}{\left(x+\frac{1}{4}\right)^2-\frac{9}{16}}dx$ lösen, indem wir die Methode der Integration durch Substitution (auch U-Substitution genannt) anwenden. Zunächst müssen wir einen Abschnitt innerhalb des Integrals mit einer neuen Variablen identifizieren (nennen wir sie $u$), die, wenn sie substituiert wird, das Integral einfacher macht. Wir sehen, dass $x+\frac{1}{4}$ ein guter Kandidat für die Substitution ist. Definieren wir eine Variable $u$ und weisen sie dem gewählten Teil zu
Um nun $dx$ in $du$ umzuschreiben, müssen wir die Ableitung von $u$ finden. Um $du$ zu berechnen, können wir die obige Gleichung ableiten
Umformulierung von $x$ im Sinne von $u$
Setzen Sie $u$, $dx$ und $x$ in das Integral ein und vereinfachen Sie
Erweitern Sie den Bruch $\frac{\frac{21}{4}-u}{u^2-\frac{9}{16}}$ in $2$ einfachere Brüche mit gemeinsamem Nenner $u^2-\frac{9}{16}$
Vereinfachen Sie den Ausdruck
Das Integral $\frac{1}{2}\int\frac{\frac{21}{4}}{u^2-\frac{9}{16}}du$ ergibt sich: $-\frac{7}{4}\ln\left(\frac{4\left(x+\frac{1}{4}\right)+3}{4x-2}\right)$
Das Integral $-\frac{1}{2}\int\frac{u}{u^2-\frac{9}{16}}du$ ergibt sich: $-\frac{1}{4}\ln\left(\left(x+\frac{1}{4}\right)^2-\frac{9}{16}\right)$
Sammeln Sie die Ergebnisse aller Integrale
Da das Integral, das wir lösen, ein unbestimmtes Integral ist, müssen wir am Ende der Integration die Integrationskonstante hinzufügen $C$
Wie sollte ich dieses Problem lösen?
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