Wir können das Integral $\int\frac{3\sin\left(x\right)+4\cos\left(x\right)}{4\sin\left(x\right)-3\cos\left(x\right)}dx$ lösen, indem wir die Methode der Integration durch Substitution (auch U-Substitution genannt) anwenden. Zunächst müssen wir einen Abschnitt innerhalb des Integrals mit einer neuen Variablen identifizieren (nennen wir sie $u$), die, wenn sie substituiert wird, das Integral einfacher macht. Wir sehen, dass $4\sin\left(x\right)-3\cos\left(x\right)$ ein guter Kandidat für die Substitution ist. Definieren wir eine Variable $u$ und weisen sie dem gewählten Teil zu
Um nun $dx$ in $du$ umzuschreiben, müssen wir die Ableitung von $u$ finden. Um $du$ zu berechnen, können wir die obige Gleichung ableiten
Isolieren Sie $dx$ in der vorherigen Gleichung
Setzen Sie $u$ und $dx$ in das Integral ein und vereinfachen Sie
Wenden Sie die Formel an: $\int\frac{n}{x}dx$$=n\ln\left(x\right)+C$, wobei $x=u$ und $n=1$
Ersetzen Sie $u$ durch den Wert, den wir ihm am Anfang zugewiesen haben: $4\sin\left(x\right)-3\cos\left(x\right)$
Da das Integral, das wir lösen, ein unbestimmtes Integral ist, müssen wir am Ende der Integration die Integrationskonstante hinzufügen $C$
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