Wir können das Integral $\int\frac{1}{4\sec\left(x\right)-1}dx$ lösen, indem wir die Methode der Weierstraß-Substitution (auch bekannt als Tangens-Halbwinkel-Substitution) anwenden, die ein Integral trigonometrischer Funktionen in eine rationale Funktion von $t$ umwandelt, indem wir die Substitution setzen

Daher

Setzt man das ursprüngliche Integral ein, erhält man

Wenden Sie die Formel an: $\int\frac{ab}{c}dx$$=a\int\frac{b}{c}dx$, wobei $a=2$, $b=1-t^{2}$ und $c=\left(4\left(1+t^{2}\right)-\left(1-t^{2}\right)\right)\left(1+t^{2}\right)$

Wenden Sie die Formel an: $x\left(a+b\right)$$=xa+xb$, wobei $a=1$, $b=t^{2}$, $x=4$ und $a+b=1+t^{2}$

Wenden Sie die Formel an: $x\left(a+b\right)$$=xa+xb$, wobei $a=1$, $b=-t^{2}$, $x=-1$ und $a+b=1-t^{2}$

Erweitern Sie das Integral $\int\left(\frac{4}{3+5t^{2}}+\frac{-1}{1+t^{2}}\right)dt$ mit Hilfe der Summenregel für Integrale in $2$ Integrale, um dann jedes Integral einzeln zu lösen

Sammeln Sie die Ergebnisse aller Integrale

Ersetzen Sie $t$ durch den Wert, den wir ihm am Anfang zugewiesen haben: $\tan\left(\frac{x}{2}\right)$

Da das Integral, das wir lösen, ein unbestimmtes Integral ist, müssen wir am Ende der Integration die Integrationskonstante hinzufügen $C$