Endgültige Antwort auf das Problem
Schritt-für-Schritt-Lösung
Wie sollte ich dieses Problem lösen?
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- Weierstrass Substitution
- Produkt von Binomischen mit gemeinsamem Term
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Anwendung der trigonometrischen Identität: $\sin\left(\theta \right)\cos\left(\theta \right)$$=\frac{\sin\left(2\theta \right)}{2}$
Wenden Sie die Formel an: $\frac{a}{a}$$=1$, wobei $a=2$ und $a/a=\frac{2\sin\left(2x\right)}{2}$
Anwendung der trigonometrischen Identität: $\frac{n}{\sin\left(\theta \right)}$$=n\csc\left(\theta \right)$, wobei $x=2x$ und $n=1$
Vereinfachen Sie $\frac{1}{2\sin\left(x\right)\cos\left(x\right)}$ in $\csc\left(2x\right)$ durch Anwendung trigonometrischer Identitäten
Wir können das Integral $\int\csc\left(2x\right)dx$ lösen, indem wir die Methode der Integration durch Substitution (auch U-Substitution genannt) anwenden. Zunächst müssen wir einen Abschnitt innerhalb des Integrals mit einer neuen Variablen identifizieren (nennen wir sie $u$), die, wenn sie substituiert wird, das Integral einfacher macht. Wir sehen, dass $2x$ ein guter Kandidat für die Substitution ist. Definieren wir eine Variable $u$ und weisen sie dem gewählten Teil zu
Differenzieren Sie beide Seiten der Gleichung $u=2x$
Finden Sie die Ableitung
Wenden Sie die Formel an: $\frac{d}{dx}\left(nx\right)$$=n\frac{d}{dx}\left(x\right)$, wobei $n=2$
Wenden Sie die Formel an: $\frac{d}{dx}\left(x\right)$$=1$
Um nun $dx$ in $du$ umzuschreiben, müssen wir die Ableitung von $u$ finden. Um $du$ zu berechnen, können wir die obige Gleichung ableiten
Wenden Sie die Formel an: $a=b$$\to b=a$, wobei $a=du$ und $b=2dx$
Wenden Sie die Formel an: $ax=b$$\to x=\frac{b}{a}$, wobei $a=2$, $b=du$ und $x=dx$
Isolieren Sie $dx$ in der vorherigen Gleichung
Setzen Sie $u$ und $dx$ in das Integral ein und vereinfachen Sie
Wenden Sie die Formel an: $\int\frac{x}{c}dx$$=\frac{1}{c}\int xdx$, wobei $c=2$ und $x=\csc\left(u\right)$
Wenden Sie die Formel an: $\int\csc\left(\theta \right)dx$$=-\ln\left(\csc\left(\theta \right)+\cot\left(\theta \right)\right)+C$, wobei $x=u$
Wenden Sie die Formel an: $\frac{a}{b}c$$=\frac{ca}{b}$, wobei $a=1$, $b=2$, $c=-1$, $a/b=\frac{1}{2}$ und $ca/b=-\left(\frac{1}{2}\right)\ln\left(\csc\left(u\right)+\cot\left(u\right)\right)$
Ersetzen Sie $u$ durch den Wert, den wir ihm am Anfang zugewiesen haben: $2x$
Ersetzen Sie $u$ durch den Wert, den wir ihm am Anfang zugewiesen haben: $2x$
Anwendung der trigonometrischen Identität: $\csc\left(nx\right)+\cot\left(nx\right)$$=\cot\left(\frac{n}{2}x\right)$, wobei $nx=2x$ und $n=2$
Da das Integral, das wir lösen, ein unbestimmtes Integral ist, müssen wir am Ende der Integration die Integrationskonstante hinzufügen $C$
