Wir können das Integral $\int\csc\left(2x\right)dx$ lösen, indem wir die Methode der Integration durch Substitution (auch U-Substitution genannt) anwenden. Zunächst müssen wir einen Abschnitt innerhalb des Integrals mit einer neuen Variablen identifizieren (nennen wir sie $u$), die, wenn sie substituiert wird, das Integral einfacher macht. Wir sehen, dass $2x$ ein guter Kandidat für die Substitution ist. Definieren wir eine Variable $u$ und weisen sie dem gewählten Teil zu

Setzen Sie $u$ und $dx$ in das Integral ein und vereinfachen Sie

Wenden Sie die Formel an: $\int\frac{x}{c}dx$$=\frac{1}{c}\int xdx$, wobei $c=2$ und $x=\csc\left(u\right)$

Wenden Sie die Formel an: $\int\csc\left(\theta \right)dx$$=-\ln\left(\csc\left(\theta \right)+\cot\left(\theta \right)\right)+C$, wobei $x=u$

Wenden Sie die Formel an: $\frac{a}{b}c$$=\frac{ca}{b}$, wobei $a=1$, $b=2$, $c=-1$, $a/b=\frac{1}{2}$ und $ca/b=-\left(\frac{1}{2}\right)\ln\left(\csc\left(u\right)+\cot\left(u\right)\right)$

Anwendung der trigonometrischen Identität: $\csc\left(nx\right)+\cot\left(nx\right)$$=\cot\left(\frac{n}{2}x\right)$, wobei $nx=2x$ und $n=2$

Da das Integral, das wir lösen, ein unbestimmtes Integral ist, müssen wir am Ende der Integration die Integrationskonstante hinzufügen $C$