Wenden Sie die Formel an: $x\left(a+b\right)$$=xa+xb$, wobei $a=1$, $b=x^2$, $x=5$ und $a+b=1+x^2$

Wenden Sie die Formel an: $\int\frac{a}{bc}dx$$=\frac{1}{c}\int\frac{a}{b}dx$, wobei $a=1$, $b=\left(x-\frac{1}{5}\right)^2+\frac{24}{25}$ und $c=5$

Wir können das Integral $\int\frac{1}{\left(x-\frac{1}{5}\right)^2+\frac{24}{25}}dx$ lösen, indem wir die Methode der Integration durch Substitution (auch U-Substitution genannt) anwenden. Zunächst müssen wir einen Abschnitt innerhalb des Integrals mit einer neuen Variablen identifizieren (nennen wir sie $u$), die, wenn sie substituiert wird, das Integral einfacher macht. Wir sehen, dass $x-\frac{1}{5}$ ein guter Kandidat für die Substitution ist. Definieren wir eine Variable $u$ und weisen sie dem gewählten Teil zu

Setzen Sie $u$ und $dx$ in das Integral ein und vereinfachen Sie

Wenden Sie die Formel an: $\int\frac{1}{a+b^2}dx$$=\frac{1}{a}\int\frac{1}{1+\frac{b^2}{a}}dx$, wobei $a=\frac{24}{25}$ und $b=u$

Isolieren Sie $du$ in der vorherigen Gleichung

Wenden Sie die Formel an: $\int\frac{n}{x^2+b}dx$$=\frac{n}{\sqrt{b}}\arctan\left(\frac{x}{\sqrt{b}}\right)+C$, wobei $b=1$, $x=v$ und $n=1$

Wenden Sie die Formel an: $a\frac{b}{c}$$=\frac{ba}{c}$, wobei $a=\arctan\left(v\right)$, $b=\sqrt{24}$ und $c=24$

Wenden Sie die Formel an: $x\left(\frac{a}{x}+b\right)$$=a+bx$, wobei $a=-1$, $b=x$ und $x=5$

Da das Integral, das wir lösen, ein unbestimmtes Integral ist, müssen wir am Ende der Integration die Integrationskonstante hinzufügen $C$