Wir können das Integral $\int\frac{1}{\sin\left(x\right)-1}dx$ lösen, indem wir die Methode der Weierstraß-Substitution (auch bekannt als Tangens-Halbwinkel-Substitution) anwenden, die ein Integral trigonometrischer Funktionen in eine rationale Funktion von $t$ umwandelt, indem wir die Substitution setzen

Daher

Setzt man das ursprüngliche Integral ein, erhält man

Wenden Sie die Formel an: $\frac{a}{bx}$$=\frac{\frac{a}{b}}{x}$, wobei $a=2$, $b=-1$, $bx=-\left(t-1\right)^{2}$, $a/bx=\frac{2}{-\left(t-1\right)^{2}}$ und $x=\left(t-1\right)^{2}$

Wir können das Integral $\int\frac{-2}{\left(t-1\right)^{2}}dt$ lösen, indem wir die Methode der Integration durch Substitution (auch U-Substitution genannt) anwenden. Zunächst müssen wir einen Abschnitt innerhalb des Integrals mit einer neuen Variablen identifizieren (nennen wir sie $u$), die, wenn sie substituiert wird, das Integral einfacher macht. Wir sehen, dass $t-1$ ein guter Kandidat für die Substitution ist. Definieren wir eine Variable $u$ und weisen sie dem gewählten Teil zu

Setzen Sie $u$ und $dt$ in das Integral ein und vereinfachen Sie

Wenden Sie die Formel an: $\frac{a}{x^b}$$=ax^{-b}$, wobei $a=-2$, $b=2$ und $x=u$

Wenden Sie die Formel an: $\int cxdx$$=c\int xdx$, wobei $c=-2$ und $x=u^{-2}$

Wenden Sie die Formel an: $\int x^ndx$$=\frac{x^{\left(n+1\right)}}{n+1}+C$, wobei $x=u$ und $n=-2$

Wenden Sie die Formel an: $a\frac{x}{b}$$=\frac{a}{b}x$, wobei $a=-2$, $b=-1$, $ax/b=-2\left(\frac{u^{-1}}{-1}\right)$, $x=u^{-1}$ und $x/b=\frac{u^{-1}}{-1}$

Wenden Sie die Formel an: $x^a$$=\frac{1}{x^{\left|a\right|}}$, wobei $a=-1$ und $x=t-1$

Ersetzen Sie $t$ durch den Wert, den wir ihm am Anfang zugewiesen haben: $\tan\left(\frac{x}{2}\right)$

Da das Integral, das wir lösen, ein unbestimmtes Integral ist, müssen wir am Ende der Integration die Integrationskonstante hinzufügen $C$