Übung$\int\frac{1}{\left(sinx+cosx\right)^3}dx$
Schritt-für-Schritt-Lösung
Zwischenschritte
1
Vereinfachen Sie $\frac{1}{\left(\sin\left(x\right)+\cos\left(x\right)\right)^3}$ in $\frac{\csc\left(x+45\right)^3}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}$ durch Anwendung trigonometrischer Identitäten
$\int\frac{\csc\left(x+45\right)^3}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}dx$
Erläutern Sie diesen Schritt näher
2
Wenden Sie die Formel an: $\int\frac{x}{c}dx$$=\frac{1}{c}\int xdx$, wobei $c=\sqrt{\left(2\right)^{3}}$ und $x=\csc\left(x+45\right)^3$
$\frac{1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\int\csc\left(x+45\right)^3dx$
3
Wir können das Integral $\int\csc\left(x+45\right)^3dx$ lösen, indem wir die Methode der Integration durch Substitution (auch U-Substitution genannt) anwenden. Zunächst müssen wir einen Abschnitt innerhalb des Integrals mit einer neuen Variablen identifizieren (nennen wir sie $u$), die, wenn sie substituiert wird, das Integral einfacher macht. Wir sehen, dass $x+45$ ein guter Kandidat für die Substitution ist. Definieren wir eine Variable $u$ und weisen sie dem gewählten Teil zu
$u=x+45$
Zwischenschritte
4
Um nun $dx$ in $du$ umzuschreiben, müssen wir die Ableitung von $u$ finden. Um $du$ zu berechnen, können wir die obige Gleichung ableiten
$du=dx$
Erläutern Sie diesen Schritt näher
5
Setzen Sie $u$ und $dx$ in das Integral ein und vereinfachen Sie
$\frac{1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\int\csc\left(u\right)^3du$
6
Wenden Sie die Formel an: $\int\csc\left(\theta \right)^3dx$$=\int\csc\left(\theta \right)^2\csc\left(\theta \right)dx$, wobei $dx=du$ und $x=u$
$\frac{1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\int\csc\left(u\right)^2\csc\left(u\right)du$
7
Wir können das Integral $\int\csc\left(u\right)^2\csc\left(u\right)du$ lösen, indem wir die Methode der Integration durch Teile anwenden, um das Integral des Produkts zweier Funktionen mit der folgenden Formel zu berechnen
$\displaystyle\int u\cdot dv=u\cdot v-\int v \cdot du$
Zwischenschritte
8
Identifizieren oder wählen Sie zunächst $u$ und berechnen Sie die Ableitung, $du$
$\begin{matrix}\displaystyle{u=\csc\left(u\right)}\\ \displaystyle{du=-\csc\left(u\right)\cot\left(u\right)du}\end{matrix}$
Erläutern Sie diesen Schritt näher
9
Identifizieren Sie nun $dv$ und berechnen Sie $v$
$\begin{matrix}\displaystyle{dv=\csc\left(u\right)^2du}\\ \displaystyle{\int dv=\int \csc\left(u\right)^2du}\end{matrix}$
10
Lösen Sie das Integral und finden Sie $v$
$v=\int\csc\left(u\right)^2du$
11
Wenden Sie die Formel an: $\int\csc\left(\theta \right)^2dx$$=-\cot\left(\theta \right)+C$, wobei $x=u$
$-\cot\left(u\right)$
Zwischenschritte
12
Ersetzen Sie nun die Werte von $u$, $du$ und $v$ in der letzten Formel
$\frac{1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\left(-\cot\left(u\right)\csc\left(u\right)-\int\csc\left(u\right)\cot\left(u\right)^2du\right)$
Erläutern Sie diesen Schritt näher
Zwischenschritte
13
Multiplizieren Sie den Einzelterm $\frac{1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}$ mit jedem Term des Polynoms $\left(-\cot\left(u\right)\csc\left(u\right)-\int\csc\left(u\right)\cot\left(u\right)^2du\right)$
$\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\cot\left(u\right)\csc\left(u\right)+\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\int\csc\left(u\right)\cot\left(u\right)^2du$
Erläutern Sie diesen Schritt näher
14
Applying the trigonometric identity: $\cot\left(\theta \right)^2 = \csc\left(\theta \right)^2-1$
$\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\cot\left(u\right)\csc\left(u\right)+\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\int\csc\left(u\right)\cot\left(u\right)^2du$
15
Applying the trigonometric identity: $\cot\left(\theta \right)^2 = \csc\left(\theta \right)^2-1$
$\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\cot\left(u\right)\csc\left(u\right)+\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\int\csc\left(u\right)\left(\csc\left(u\right)^2-1\right)du$
16
Wenden Sie die Formel an: $x\left(a+b\right)$$=xa+xb$, wobei $a=\csc\left(u\right)^2$, $b=-1$, $x=\csc\left(u\right)$ und $a+b=\csc\left(u\right)^2-1$
$\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\cot\left(u\right)\csc\left(u\right)+\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\int\left(\csc\left(u\right)\csc\left(u\right)^2-\csc\left(u\right)\right)du$
Zwischenschritte
17
Vereinfachen Sie den Ausdruck
$\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\cot\left(u\right)\csc\left(u\right)+\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\left(\int\csc\left(u\right)^{3}du+\int-\csc\left(u\right)du\right)$
Erläutern Sie diesen Schritt näher
Zwischenschritte
18
Ersetzen Sie $u$ durch den Wert, den wir ihm am Anfang zugewiesen haben: $x+45$
$\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\cot\left(x+45\right)\csc\left(x+45\right)+\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\left(\int\csc\left(u\right)^{3}du+\int-\csc\left(u\right)du\right)$
Erläutern Sie diesen Schritt näher
19
Wenden Sie die Formel an: $x\left(a+b\right)$$=xa+xb$, wobei $a=\int\csc\left(u\right)^{3}du$, $b=\int-\csc\left(u\right)du$, $x=\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}$ und $a+b=\int\csc\left(u\right)^{3}du+\int-\csc\left(u\right)du$
$\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\cot\left(x+45\right)\csc\left(x+45\right)+\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\int\csc\left(u\right)^{3}du+\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\int-\csc\left(u\right)du$
Zwischenschritte
20
Das Integral $\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\int-\csc\left(u\right)du$ ergibt sich: $\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\ln\left(\csc\left(x+45\right)+\cot\left(x+45\right)\right)$
$\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\ln\left(\csc\left(x+45\right)+\cot\left(x+45\right)\right)$
Erläutern Sie diesen Schritt näher
21
Dieses Integral durch Teile stellte sich als zyklisch heraus (das Integral, das wir berechnen, erschien wieder auf der rechten Seite der Gleichung). Wir können es auf die linke Seite der Gleichung mit umgekehrtem Vorzeichen übertragen
$\int\csc\left(u\right)^{3}du=\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\cot\left(x+45\right)\csc\left(x+45\right)+\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\int\csc\left(u\right)^{3}du+\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\ln\left(\csc\left(x+45\right)+\cot\left(x+45\right)\right)$
22
Verschieben des zyklischen Integrals auf die linke Seite der Gleichung
$\int\csc\left(u\right)^{3}du+\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\int\csc\left(u\right)^{3}du=\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\cot\left(x+45\right)\csc\left(x+45\right)+\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\ln\left|\csc\left(x+45\right)+\cot\left(x+45\right)\right|$
23
Addieren der Integrale
$\left(\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}+1\right)\int\csc\left(u\right)^{3}du=\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\cot\left(x+45\right)\csc\left(x+45\right)+\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\ln\left|\csc\left(x+45\right)+\cot\left(x+45\right)\right|$
Zwischenschritte
$\frac{-1+\sqrt{\left(2\right)^{3}}}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\int\csc\left(u\right)^{3}du=\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\cot\left(x+45\right)\csc\left(x+45\right)+\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\ln\left|\csc\left(x+45\right)+\cot\left(x+45\right)\right|$
Erläutern Sie diesen Schritt näher
25
Verschieben Sie den konstanten Term $\frac{-1+\sqrt{\left(2\right)^{3}}}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}$ dividieren auf die andere Seite der Gleichung
$\int\csc\left(u\right)^{3}du=\frac{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}{-1+\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\left(\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\cot\left(x+45\right)\csc\left(x+45\right)+\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\ln\left|\csc\left(x+45\right)+\cot\left(x+45\right)\right|\right)$
$\frac{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}{-1+\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\left(\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\cot\left(x+45\right)\csc\left(x+45\right)+\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\ln\left|\csc\left(x+45\right)+\cot\left(x+45\right)\right|\right)$
27
Sammeln Sie die Ergebnisse aller Integrale
$\frac{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}{-1+\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\left(\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\cot\left(x+45\right)\csc\left(x+45\right)+\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\ln\left|\csc\left(x+45\right)+\cot\left(x+45\right)\right|\right)$
28
Da das Integral, das wir lösen, ein unbestimmtes Integral ist, müssen wir am Ende der Integration die Integrationskonstante hinzufügen $C$
$\frac{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}{-1+\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\left(\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\cot\left(x+45\right)\csc\left(x+45\right)+\frac{-1}{\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\ln\left|\csc\left(x+45\right)+\cot\left(x+45\right)\right|\right)+C_0$
Zwischenschritte
29
Erweitern und vereinfachen
$\frac{-1}{-1+\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\cot\left(x+45\right)\csc\left(x+45\right)+\frac{-1}{-1+\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\ln\left|\csc\left(x+45\right)+\cot\left(x+45\right)\right|+C_0$
Erläutern Sie diesen Schritt näher
Endgültige Antwort auf das Problem $\frac{-1}{-1+\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\cot\left(x+45\right)\csc\left(x+45\right)+\frac{-1}{-1+\sqrt{\left(2\right)^{3}}}\ln\left|\csc\left(x+45\right)+\cot\left(x+45\right)\right|+C_0$
