Wir können das Integral $\int\frac{1}{\left(5x-1\right)\ln\left(5x-1\right)}dx$ lösen, indem wir die Methode der Integration durch Substitution (auch U-Substitution genannt) anwenden. Zunächst müssen wir einen Abschnitt innerhalb des Integrals mit einer neuen Variablen identifizieren (nennen wir sie $u$), die, wenn sie substituiert wird, das Integral einfacher macht. Wir sehen, dass $5x-1$ ein guter Kandidat für die Substitution ist. Definieren wir eine Variable $u$ und weisen sie dem gewählten Teil zu
Um nun $dx$ in $du$ umzuschreiben, müssen wir die Ableitung von $u$ finden. Um $du$ zu berechnen, können wir die obige Gleichung ableiten
Isolieren Sie $dx$ in der vorherigen Gleichung
Setzen Sie $u$ und $dx$ in das Integral ein und vereinfachen Sie
Wir können das Integral $\int\frac{1}{u\ln\left(u\right)}du$ lösen, indem wir die Methode der Integration durch Substitution (auch U-Substitution genannt) anwenden. Zunächst müssen wir einen Abschnitt innerhalb des Integrals mit einer neuen Variablen identifizieren (nennen wir sie $v$), die, wenn sie substituiert wird, das Integral einfacher macht. Wir sehen, dass $\ln\left(u\right)$ ein guter Kandidat für die Substitution ist. Definieren wir eine Variable $v$ und weisen sie dem gewählten Teil zu
Um nun $du$ in $dv$ umzuschreiben, müssen wir die Ableitung von $v$ finden. Um $dv$ zu berechnen, können wir die obige Gleichung ableiten
Isolieren Sie $du$ in der vorherigen Gleichung
Setzen Sie $v$ und $du$ in das Integral ein und vereinfachen Sie
Wenden Sie die Formel an: $\int\frac{n}{x}dx$$=n\ln\left(x\right)+C$, wobei $x=v$ und $n=1$
Ersetzen Sie $v$ durch den Wert, den wir ihm am Anfang zugewiesen haben: $\ln\left(u\right)$
Ersetzen Sie $u$ durch den Wert, den wir ihm am Anfang zugewiesen haben: $5x-1$
Da das Integral, das wir lösen, ein unbestimmtes Integral ist, müssen wir am Ende der Integration die Integrationskonstante hinzufügen $C$
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