Wir können das Integral $\int\mathrm{coth}\left(3x\right)dx$ lösen, indem wir die Methode der Integration durch Substitution (auch U-Substitution genannt) anwenden. Zunächst müssen wir einen Abschnitt innerhalb des Integrals mit einer neuen Variablen identifizieren (nennen wir sie $u$), die, wenn sie substituiert wird, das Integral einfacher macht. Wir sehen, dass $3x$ ein guter Kandidat für die Substitution ist. Definieren wir eine Variable $u$ und weisen sie dem gewählten Teil zu

Setzen Sie $u$ und $dx$ in das Integral ein und vereinfachen Sie

Wenden Sie die Formel an: $\int\frac{x}{c}dx$$=\frac{1}{c}\int xdx$, wobei $c=3$ und $x=\mathrm{coth}\left(u\right)$

Wir können das Integral $\int\mathrm{coth}\left(u\right)du$ lösen, indem wir die Methode der Integration durch Teile anwenden, um das Integral des Produkts zweier Funktionen mit der folgenden Formel zu berechnen

Identifizieren Sie nun $dv$ und berechnen Sie $v$

Lösen Sie das Integral und finden Sie $v$

Wenden Sie die Formel an: $\int cdx$$=cvar+C$, wobei $c=1$

Multiplizieren Sie den Einzelterm $\frac{1}{3}$ mit jedem Term des Polynoms $\left(u\mathrm{coth}\left(u\right)+\int u\mathrm{csch}\left(u\right)^2du\right)$

Wenden Sie die Formel an: $\frac{a}{b}c$$=\frac{ca}{b}$, wobei $a=1$, $b=3$, $c=3$, $a/b=\frac{1}{3}$ und $ca/b=3\cdot \frac{1}{3}x\mathrm{coth}\left(u\right)$

Sammeln Sie die Ergebnisse aller Integrale

Abbrechen wie Begriffe $x\mathrm{coth}\left(3x\right)$ und $-x\mathrm{coth}\left(3x\right)$

Da das Integral, das wir lösen, ein unbestimmtes Integral ist, müssen wir am Ende der Integration die Integrationskonstante hinzufügen $C$