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Übung

$\frac{dy}{dx}-5y=x^2$

Schritt-für-Schritt-Lösung

1

Wir können erkennen, dass die Differentialgleichung die Form hat: $\frac{dy}{dx} + P(x)\cdot y(x) = Q(x)$, so dass wir sie als lineare Differentialgleichung erster Ordnung einstufen können, wobei $P(x)=-5$ und $Q(x)=x^2$. Um die Differentialgleichung zu lösen, müssen wir zunächst den integrierenden Faktor finden $\mu(x)$

$\displaystyle\mu\left(x\right)=e^{\int P(x)dx}$
2

Um $\mu(x)$ zu finden, müssen wir zunächst Folgendes berechnen $\int P(x)dx$

$\int P(x)dx=\int-5dx=-5x$
3

Der integrierende Faktor $\mu(x)$ ist also

$\mu(x)=e^{-5x}$
4

Multiplizieren Sie nun alle Terme der Differentialgleichung mit dem integrierenden Faktor $\mu(x)$ und prüfen Sie, ob sich die Gleichung vereinfachen lässt

$\frac{dy}{dx}e^{-5x}-5ye^{-5x}=x^2e^{-5x}$
5

Wir können erkennen, dass die linke Seite der Differentialgleichung aus der Ableitung des Produkts von $\mu(x)\cdot y(x)$

$\frac{d}{dx}\left(e^{-5x}y\right)=x^2e^{-5x}$
6

Integrieren Sie beide Seiten der Differentialgleichung in Bezug auf $dx$

$\int\frac{d}{dx}\left(e^{-5x}y\right)dx=\int x^2e^{-5x}dx$
7

Vereinfachen Sie die linke Seite der Differentialgleichung

$e^{-5x}y=\int x^2e^{-5x}dx$
8

Lösen Sie das Integral $\int x^2e^{-5x}dx$ und setzen Sie das Ergebnis in die Differentialgleichung ein

$e^{-5x}y=\frac{x^2}{-5e^{5x}}+\frac{\left(-\frac{2}{25}\right)x}{e^{5x}}+\frac{2}{-125e^{5x}}+C_0$
9

Wenden Sie die Formel an: $x^a$$=\frac{1}{x^{\left|a\right|}}$

$\frac{1}{e^{5x}}y=\frac{x^2}{-5e^{5x}}+\frac{\left(-\frac{2}{25}\right)x}{e^{5x}}+\frac{2}{-125e^{5x}}+C_0$
10

Wenden Sie die Formel an: $a\frac{b}{x}$$=\frac{ab}{x}$

$\frac{y}{e^{5x}}=\frac{x^2}{-5e^{5x}}+\frac{-\frac{2}{25}x}{e^{5x}}+\frac{2}{-125e^{5x}}+C_0$
11

Finden Sie die explizite Lösung der Differentialgleichung. Wir müssen die Variable isolieren $y$

$y=\left(\frac{x^2}{-5e^{5x}}+\frac{-\frac{2}{25}x}{e^{5x}}+\frac{2}{-125e^{5x}}+C_0\right)e^{5x}$

Endgültige Antwort auf das Problem

$y=\left(\frac{x^2}{-5e^{5x}}+\frac{-\frac{2}{25}x}{e^{5x}}+\frac{2}{-125e^{5x}}+C_0\right)e^{5x}$

Wie sollte ich dieses Problem lösen?

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  • Trennbare Differentialgleichungen
  • Homogene Differentialgleichung
  • Produkt von Binomischen mit gemeinsamem Term
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