Endgültige Antwort auf das Problem
Schritt-für-Schritt-Lösung
Wie sollte ich dieses Problem lösen?
- Wählen Sie eine Option
- Exakte Differentialgleichung
- Lineare Differentialgleichung
- Trennbare Differentialgleichung
- Homogene Differentialgleichung
- Produkt von Binomischen mit gemeinsamem Term
- FOIL Method
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Wir erkennen, dass die Differentialgleichung $\frac{dy}{dx}+\frac{-y}{x}=\frac{x}{3y}$ eine Bernoulli-Differentialgleichung ist, da sie die Form $\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^n$ hat, wobei $n$ eine beliebige reelle Zahl ist, die sich von $0$ und $1$ unterscheidet. Um diese Gleichung zu lösen, können wir die folgende Substitution anwenden. Wir definieren eine neue Variable $u$ und setzen sie gleich
Setzen Sie den Wert von $n$ ein, der gleich ist $-1$
Vereinfachen Sie
Wenden Sie die Formel an: $a=b$$\to b=a$, wobei $a=u$ und $b=y^{2}$
Wenden Sie die Formel an: $y^a=b$$\to y=b^{\frac{sign\left(a\right)}{\left|a\right|}}$, wobei $a=2$ und $b=u$
Isolieren Sie die abhängige Variable $y$
Wenden Sie die Formel an: $\frac{d}{dx}\left(x^a\right)$$=ax^{\left(a-1\right)}$, wobei $a=\frac{1}{2}$ und $x=u$
Differenzieren Sie beide Seiten der Gleichung in Bezug auf die unabhängige Variable $x$
Setzen Sie nun $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}\frac{du}{dx}$ und $y=\sqrt{u}$ in die ursprüngliche Differentialgleichung ein
Vereinfachen Sie
Wir müssen den Term, der vor $\frac{du}{dx}$ steht, streichen. Dazu multiplizieren wir die gesamte Differentialgleichung mit $\frac{1}{2}\sqrt{u}$
Multiplizieren Sie beide Seiten mit $\frac{1}{2}\sqrt{u}$
Wenden Sie die Formel an: $x\left(a+b\right)$$=xa+xb$, wobei $a=\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}\frac{du}{dx}$, $b=\frac{-\sqrt{u}}{x}$, $x=\frac{1}{2}\sqrt{u}$ und $a+b=\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}\frac{du}{dx}+\frac{-\sqrt{u}}{x}$
Wenden Sie die Formel an: $x^a$$=\frac{1}{x^{\left|a\right|}}$
Wenden Sie die Formel an: $\frac{a}{b}\frac{c}{f}$$=\frac{ac}{bf}$, wobei $a=1$, $b=4$, $c=1$, $a/b=\frac{1}{4}$, $f=\sqrt{u}$, $c/f=\frac{1}{\sqrt{u}}$ und $a/bc/f=\frac{1}{4}\sqrt{u}\frac{1}{\sqrt{u}}\frac{du}{dx}$
Wenden Sie die Formel an: $\frac{a}{b}\frac{c}{f}$$=\frac{ac}{bf}$, wobei $a=1$, $b=2$, $c=-\sqrt{u}$, $a/b=\frac{1}{2}$, $f=x$, $c/f=\frac{-\sqrt{u}}{x}$ und $a/bc/f=\frac{1}{2}\sqrt{u}\frac{-\sqrt{u}}{x}$
Wenden Sie die Formel an: $\frac{a}{b}\frac{c}{f}$$=\frac{ac}{bf}$, wobei $a=x$, $b=3\sqrt{u}$, $c=1$, $a/b=\frac{x}{3\sqrt{u}}$, $f=2$, $c/f=\frac{1}{2}$ und $a/bc/f=\frac{1}{2}\frac{x}{3\sqrt{u}}\sqrt{u}$
Wenden Sie die Formel an: $a\frac{b}{c}$$=\frac{ba}{c}$, wobei $a=\sqrt{u}$, $b=-\sqrt{u}$ und $c=2x$
Wenden Sie die Formel an: $a\frac{b}{x}$$=\frac{ab}{x}$
Wenden Sie die Formel an: $a\frac{b}{c}$$=\frac{ba}{c}$, wobei $a=\sqrt{u}$, $b=x$ und $c=6\sqrt{u}$
Wenden Sie die Formel an: $\frac{a^m}{a^n}$$=a^{\left(m-n\right)}$, wobei $a^n=\sqrt{u}$, $a^m=\sqrt{u}$, $a=u$, $a^m/a^n=\frac{x\sqrt{u}}{6\sqrt{u}}$, $m=\frac{1}{2}$ und $n=\frac{1}{2}$
Wenden Sie die Formel an: $\frac{a}{b}+\frac{c}{b}$$=\frac{a+c}{b}$, wobei $a=1$, $b=2$ und $c=-1$
Wenden Sie die Formel an: $a+b$$=a+b$, wobei $a=1$, $b=-1$ und $a+b=1-1$
Wenden Sie die Formel an: $\frac{a}{b}$$=\frac{a}{b}$, wobei $a=0$, $b=2$ und $a/b=\frac{0}{2}$
Wenden Sie die Formel an: $x^0$$=1$, wobei $x=u$
Erweitern und vereinfachen Sie. Jetzt sehen wir, dass die Differentialgleichung wie eine lineare Differentialgleichung aussieht, weil wir den ursprünglichen Term $y^{-1}$ entfernt haben
Wenden Sie die Formel an: $a\frac{dy}{dx}+c=f$$\to \frac{dy}{dx}+\frac{c}{a}=\frac{f}{a}$, wobei $a=\frac{1}{4}$, $c=\frac{-u}{2x}$ und $f=\frac{x}{6}$
Wenden Sie die Formel an: $\frac{\frac{a}{b}}{c}$$=\frac{a}{bc}$, wobei $a=-u$, $b=2x$, $c=\frac{1}{4}$, $a/b/c=\frac{\frac{-u}{2x}}{\frac{1}{4}}$ und $a/b=\frac{-u}{2x}$
Wenden Sie die Formel an: $\frac{\frac{a}{b}}{c}$$=\frac{a}{bc}$, wobei $a=x$, $b=6$, $c=\frac{1}{4}$, $a/b/c=\frac{\frac{x}{6}}{\frac{1}{4}}$ und $a/b=\frac{x}{6}$
Wenden Sie die Formel an: $\frac{a}{\frac{b}{c}}$$=\frac{ac}{b}$, wobei $a=x$, $b=3$, $c=2$, $a/b/c=\frac{x}{\frac{3}{2}}$ und $b/c=\frac{3}{2}$
Wenden Sie die Formel an: $a\frac{dy}{dx}+c=f$$\to \frac{dy}{dx}+\frac{c}{a}=\frac{f}{a}$, wobei $a=\frac{1}{4}$, $c=\frac{-u}{2x}$ und $f=\frac{x}{6}$
Wir können erkennen, dass die Differentialgleichung die Form hat: $\frac{dy}{dx} + P(x)\cdot y(x) = Q(x)$, so dass wir sie als lineare Differentialgleichung erster Ordnung einstufen können, wobei $P(x)=\frac{-1}{\frac{1}{2}x}$ und $Q(x)=\frac{2x}{3}$. Um die Differentialgleichung zu lösen, müssen wir zunächst den integrierenden Faktor finden $\mu(x)$
Berechnen Sie das Integral
Wenden Sie die Formel an: $\frac{a}{\frac{b}{c}}$$=\frac{ac}{b}$, wobei $a=-1$, $b=1$, $c=2$, $a/b/c=\frac{-1}{\frac{1}{2}x}$ und $b/c=\frac{1}{2}$
Wenden Sie die Formel an: $\int\frac{n}{x}dx$$=n\ln\left(x\right)+C$, wobei $n=-2$
Um $\mu(x)$ zu finden, müssen wir zunächst Folgendes berechnen $\int P(x)dx$
Wenden Sie die Formel an: $e^{a\ln\left(b\right)}$$=b^a$, wobei $a=-2$, $b=x$ und $2.718281828459045=e$
Der integrierende Faktor $\mu(x)$ ist also
Wenden Sie die Formel an: $a\frac{b}{c}$$=\frac{ba}{c}$, wobei $a=x^{-2}$, $b=2x$ und $c=3$
Wenden Sie die Formel an: $a\frac{b}{c}$$=\frac{ba}{c}$, wobei $a=4$, $b=x$ und $c=6$
Wenden Sie die Formel an: $a\frac{b}{c}$$=\frac{ba}{c}$, wobei $a=4$, $b=-u$ und $c=2x$
Wenden Sie die Formel an: $ab$$=ab$, wobei $ab=- 4u$, $a=-1$ und $b=4$
Wenden Sie die Formel an: $\frac{ab}{c}$$=\frac{a}{c}b$, wobei $ab=-4u$, $a=-4$, $b=u$, $c=2$ und $ab/c=\frac{-4u}{2x}$
Wenden Sie die Formel an: $\frac{ab}{c}$$=\frac{a}{c}b$, wobei $ab=4x$, $a=4$, $b=x$, $c=6$ und $ab/c=\frac{4x}{6}$
Wenden Sie die Formel an: $x\cdot x^n$$=x^{\left(n+1\right)}$, wobei $x^nx=2xx^{-2}$, $x^n=x^{-2}$ und $n=-2$
Wenden Sie die Formel an: $x\cdot x^n$$=x^{\left(n+1\right)}$, wobei $x^nx=2xx^{-2}$, $x^n=x^{-2}$ und $n=-2$
Wenden Sie die Formel an: $x\cdot x^n$$=x^{\left(n+1\right)}$, wobei $x^nx=2xx^{-2}$, $x^n=x^{-2}$ und $n=-2$
Wenden Sie die Formel an: $x\cdot x^n$$=x^{\left(n+1\right)}$, wobei $x^nx=2xx^{-2}$, $x^n=x^{-2}$ und $n=-2$
Wenden Sie die Formel an: $x\cdot x^n$$=x^{\left(n+1\right)}$, wobei $x^nx=2xx^{-2}$, $x^n=x^{-2}$ und $n=-2$
Wenden Sie die Formel an: $a+b$$=a+b$, wobei $a=-2$, $b=1$ und $a+b=-2+1$
Wenden Sie die Formel an: $a+b$$=a+b$, wobei $a=-2$, $b=1$ und $a+b=-2+1$
Wenden Sie die Formel an: $a+b$$=a+b$, wobei $a=-2$, $b=1$ und $a+b=-2+1$
Wenden Sie die Formel an: $a+b$$=a+b$, wobei $a=-2$, $b=1$ und $a+b=-2+1$
Wenden Sie die Formel an: $a+b$$=a+b$, wobei $a=-2$, $b=1$ und $a+b=-2+1$
Wenden Sie die Formel an: $\frac{a}{\frac{b}{c}}$$=\frac{ac}{b}$, wobei $a=-u$, $b=1$, $c=2$, $a/b/c=\frac{-u}{\frac{1}{2}x}$ und $b/c=\frac{1}{2}$
Wenden Sie die Formel an: $a\frac{b}{c}$$=\frac{ba}{c}$, wobei $a=x^{-2}$, $b=- 2u$ und $c=x$
Wenden Sie die Formel an: $a\frac{b}{c}$$=\frac{ba}{c}$, wobei $a=x^{-2}$, $b=-2u$ und $c=x$
Wenden Sie die Formel an: $a\frac{b}{c}$$=\frac{ba}{c}$, wobei $a=x^{-2}$, $b=- 2u$ und $c=x$
Wenden Sie die Formel an: $a\frac{b}{c}$$=\frac{ba}{c}$, wobei $a=x^{-2}$, $b=2x$ und $c=3$
Wenden Sie die Formel an: $a\frac{b}{c}$$=\frac{ba}{c}$, wobei $a=4$, $b=x$ und $c=6$
Wenden Sie die Formel an: $a\frac{b}{c}$$=\frac{ba}{c}$, wobei $a=4$, $b=-u$ und $c=2x$
Wenden Sie die Formel an: $ab$$=ab$, wobei $ab=- 4u$, $a=-1$ und $b=4$
Wenden Sie die Formel an: $\frac{ab}{c}$$=\frac{a}{c}b$, wobei $ab=-4u$, $a=-4$, $b=u$, $c=2$ und $ab/c=\frac{-4u}{2x}$
Wenden Sie die Formel an: $\frac{ab}{c}$$=\frac{a}{c}b$, wobei $ab=4x$, $a=4$, $b=x$, $c=6$ und $ab/c=\frac{4x}{6}$
Wenden Sie die Formel an: $ab$$=ab$, wobei $ab=- 2u$, $a=-1$ und $b=2$
Wenden Sie die Formel an: $\frac{a^n}{a}$$=a^{\left(n-1\right)}$, wobei $a^n/a=\frac{-2ux^{-2}}{x}$, $a^n=x^{-2}$, $a=x$ und $n=-2$
Multiplizieren Sie nun alle Terme der Differentialgleichung mit dem integrierenden Faktor $\mu(x)$ und prüfen Sie, ob sich die Gleichung vereinfachen lässt
Wir können erkennen, dass die linke Seite der Differentialgleichung aus der Ableitung des Produkts von $\mu(x)\cdot y(x)$
Integrieren Sie beide Seiten der Differentialgleichung in Bezug auf $dx$
Vereinfachen Sie die linke Seite der Differentialgleichung
Wenden Sie die Formel an: $\frac{x^a}{b}$$=\frac{1}{bx^{-a}}$, wobei $a=-1$ und $b=3$
Wenden Sie die Formel an: $x^1$$=x$
Wenden Sie die Formel an: $\int\frac{a}{bc}dx$$=\frac{1}{c}\int\frac{a}{b}dx$, wobei $a=2$, $b=x$ und $c=3$
Wenden Sie die Formel an: $\int\frac{n}{x}dx$$=n\ln\left(x\right)+C$, wobei $n=2$
Wenden Sie die Formel an: $\frac{a}{b}c$$=\frac{ca}{b}$, wobei $a=1$, $b=3$, $c=2$, $a/b=\frac{1}{3}$ und $ca/b=2\left(\frac{1}{3}\right)\ln\left(x\right)$
Da das Integral, das wir lösen, ein unbestimmtes Integral ist, müssen wir am Ende der Integration die Integrationskonstante hinzufügen $C$
Lösen Sie das Integral $\int\frac{2}{3x}dx$ und setzen Sie das Ergebnis in die Differentialgleichung ein
Ersetzen Sie $u$ durch den Wert $y^{2}$
Wenden Sie die Formel an: $x^a$$=\frac{1}{x^{\left|a\right|}}$
Wenden Sie die Formel an: $a\frac{b}{c}$$=\frac{ba}{c}$, wobei $a=y^{2}$, $b=1$ und $c=x^{\left|-2\right|}$
Wenden Sie die Formel an: $x^a$$=\frac{1}{x^{\left|a\right|}}$
Wenden Sie die Formel an: $a\frac{b}{x}$$=\frac{ab}{x}$
Wenden Sie die Formel an: $1x$$=x$, wobei $x=y^{2}$
Wenden Sie die Formel an: $a\frac{b}{x}$$=\frac{ab}{x}$
Wenden Sie die Formel an: $\frac{a^x}{b^x}$$=\left(\frac{a}{b}\right)^x$, wobei $a=y$, $b=x$ und $x=2$
Wenden Sie die Formel an: $x^a=b$$\to \left(x^a\right)^{\frac{1}{a}}=\pm b^{\frac{1}{a}}$, wobei $a=2$, $b=\frac{2}{3}\ln\left(x\right)+C_0$ und $x=\frac{y}{x}$
Wenden Sie die Formel an: $\left(x^a\right)^b$$=x$, wobei $a=2$, $b=1$, $x^a^b=\sqrt{\left(\frac{y}{x}\right)^{2}}$, $x=\frac{y}{x}$ und $x^a=\left(\frac{y}{x}\right)^{2}$
Wenden Sie die Formel an: $a=\pm b$$\to a=b,\:a=-b$, wobei $a=\frac{y}{x}$ und $b=\sqrt{\frac{2}{3}\ln\left(x\right)+C_0}$
Lösen Sie die Gleichung ($1$)
Wenden Sie die Formel an: $\frac{a}{b}=c$$\to a=cb$, wobei $a=y$, $b=x$ und $c=\sqrt{\frac{2}{3}\ln\left(x\right)+c_0}$
Lösen Sie die Gleichung ($2$)
Wenden Sie die Formel an: $\frac{a}{b}=c$$\to a=cb$, wobei $a=y$, $b=x$ und $c=-\sqrt{\frac{2}{3}\ln\left(x\right)+c_0}$
Kombiniert man alle Lösungen, so ergeben sich folgende $2$ Lösungen der Gleichung
Finden Sie die explizite Lösung der Differentialgleichung. Wir müssen die Variable isolieren $y$
