int((x^2)/((x^2+6)^(1/2)))dx

 Übung

$\int\frac{x^2}{\sqrt{x^2+6}}dx$

 Schritt-für-Schritt-Lösung

 

Wir können das Integral $\int\frac{x^2}{\sqrt{x^2+6}}dx$ durch Anwendung der Integrationsmethode der trigonometrischen Substitution lösen, indem wir die Substitution

$x=\sqrt{6}\tan\left(\theta \right)$

 

Um nun $d\theta$ in $dx$ umzuschreiben, müssen wir die Ableitung von $x$ finden. Um $dx$ zu berechnen, können wir die obige Gleichung ableiten

$dx=\sqrt{6}\sec\left(\theta \right)^2d\theta$

 

Setzt man das ursprüngliche Integral ein, erhält man

$\int\frac{6\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)^2}{\sec\left(\theta \right)}d\theta$

 

Vereinfachung

$\int6\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)d\theta$

 

Wenden Sie die Formel an: $\int cxdx$$=c\int xdx$, wobei $c=6$ und $x=\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)$

$6\int\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)d\theta$

 

Wir stellen fest, dass das Integral die Form $\int\tan^m(x)\sec^n(x)dx$ hat. Wenn $n$ ungerade und $m$ gerade ist, müssen wir alles in Form von Sekanten ausdrücken, expandieren und jede Funktion einzeln integrieren

$6\int\left(\sec\left(\theta \right)^2-1\right)\sec\left(\theta \right)d\theta$

 

Multiplizieren Sie den Einzelterm $\sec\left(\theta \right)$ mit jedem Term des Polynoms $\left(\sec\left(\theta \right)^2-1\right)$

$6\int\left(\sec\left(\theta \right)^{3}-\sec\left(\theta \right)\right)d\theta$

 

Erweitern Sie das Integral $\int\left(\sec\left(\theta \right)^{3}-\sec\left(\theta \right)\right)d\theta$ mit Hilfe der Summenregel für Integrale in $2$ Integrale, um dann jedes Integral einzeln zu lösen

$6\int\sec\left(\theta \right)^{3}d\theta-6\int\sec\left(\theta \right)d\theta$

 

Das Integral $6\int\sec\left(\theta \right)^{3}d\theta$ ergibt sich: $\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+6}+3\ln\left(\frac{\sqrt{x^2+6}+x}{\sqrt{6}}\right)$

$\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+6}+3\ln\left(\frac{\sqrt{x^2+6}+x}{\sqrt{6}}\right)$

 

Sammeln Sie die Ergebnisse aller Integrale

$3\ln\left|\frac{\sqrt{x^2+6}+x}{\sqrt{6}}\right|+\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+6}-6\int\sec\left(\theta \right)d\theta$

 

Das Integral $-6\int\sec\left(\theta \right)d\theta$ ergibt sich: $-6\ln\left(\frac{\sqrt{x^2+6}+x}{\sqrt{6}}\right)$

$-6\ln\left(\frac{\sqrt{x^2+6}+x}{\sqrt{6}}\right)$

 

Sammeln Sie die Ergebnisse aller Integrale

$3\ln\left|\frac{\sqrt{x^2+6}+x}{\sqrt{6}}\right|+\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+6}-6\ln\left|\frac{\sqrt{x^2+6}+x}{\sqrt{6}}\right|$

 

Die Kombination gleicher Begriffe $3\ln\left(\frac{\sqrt{x^2+6}+x}{\sqrt{6}}\right)$ und $-6\ln\left(\frac{\sqrt{x^2+6}+x}{\sqrt{6}}\right)$

$-3\ln\left|\frac{\sqrt{x^2+6}+x}{\sqrt{6}}\right|+\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+6}$

 

Da das Integral, das wir lösen, ein unbestimmtes Integral ist, müssen wir am Ende der Integration die Integrationskonstante hinzufügen $C$

$-3\ln\left|\frac{\sqrt{x^2+6}+x}{\sqrt{6}}\right|+\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+6}+C_0$

 

Wenden Sie die Formel an: $b\ln\left(\frac{x}{a}\right)+c$$=b\ln\left(x\right)+cteint$, wobei $a=\sqrt{6}$, $b=-3$, $c=C_0$ und $x=\sqrt{x^2+6}+x$

$-3\ln\left|\sqrt{x^2+6}+x\right|+\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+6}+C_1$

Endgültige Antwort auf das Problem  

$-3\ln\left|\sqrt{x^2+6}+x\right|+\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+6}+C_1$

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