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Übung

dydxyx=x3y\frac{dy}{dx}\:-\frac{y}{x}=\frac{x}{3y}

Schritt-für-Schritt-Lösung

1

Wir erkennen, dass die Differentialgleichung dydx+yx=x3y\frac{dy}{dx}+\frac{-y}{x}=\frac{x}{3y} eine Bernoulli-Differentialgleichung ist, da sie die Form dydx+P(x)y=Q(x)yn\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^n hat, wobei nn eine beliebige reelle Zahl ist, die sich von 00 und 11 unterscheidet. Um diese Gleichung zu lösen, können wir die folgende Substitution anwenden. Wir definieren eine neue Variable uu und setzen sie gleich

u=y(1n)u=y^{\left(1-n\right)}
2

Setzen Sie den Wert von nn ein, der gleich ist 1-1

u=y(1+1)u=y^{\left(1+1\right)}
3

Vereinfachen Sie

u=y2u=y^{2}
4

Isolieren Sie die abhängige Variable yy

y=uy=\sqrt{u}
5

Differenzieren Sie beide Seiten der Gleichung in Bezug auf die unabhängige Variable xx

dydx=12u12dudx\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}\frac{du}{dx}
6

Setzen Sie nun dydx=12u12dudx\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}\frac{du}{dx} und y=uy=\sqrt{u} in die ursprüngliche Differentialgleichung ein

12u12dudx+ux=x3u\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}\frac{du}{dx}+\frac{-\sqrt{u}}{x}=\frac{x}{3\sqrt{u}}
7

Vereinfachen Sie

12u12dudx+ux=x3u\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}\frac{du}{dx}+\frac{-\sqrt{u}}{x}=\frac{x}{3\sqrt{u}}
8

Wir müssen den Term, der vor dudx\frac{du}{dx} steht, streichen. Dazu multiplizieren wir die gesamte Differentialgleichung mit 12u\frac{1}{2}\sqrt{u}

(12u12dudx+ux=x3u)(12u)\left(\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}\frac{du}{dx}+\frac{-\sqrt{u}}{x}=\frac{x}{3\sqrt{u}}\right)\left(\frac{1}{2}\sqrt{u}\right)
9

Multiplizieren Sie beide Seiten mit 12u\frac{1}{2}\sqrt{u}

12u(12u12dudx+ux)=x3u12u\frac{1}{2}\sqrt{u}\left(\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}\frac{du}{dx}+\frac{-\sqrt{u}}{x}\right)=\frac{x}{3\sqrt{u}}\frac{1}{2}\sqrt{u}
10

Erweitern und vereinfachen Sie. Jetzt sehen wir, dass die Differentialgleichung wie eine lineare Differentialgleichung aussieht, weil wir den ursprünglichen Term y1y^{-1} entfernt haben

14dudx+u2x=x6\frac{1}{4}\frac{du}{dx}+\frac{-u}{2x}=\frac{x}{6}
11

Wenden Sie die Formel an: adydx+c=fa\frac{dy}{dx}+c=fdydx+ca=fa\to \frac{dy}{dx}+\frac{c}{a}=\frac{f}{a}, wobei a=14a=\frac{1}{4}, c=u2xc=\frac{-u}{2x} und f=x6f=\frac{x}{6}

dudx+u12x=2x3\frac{du}{dx}+\frac{-u}{\frac{1}{2}x}=\frac{2x}{3}
12

Wir können erkennen, dass die Differentialgleichung die Form hat: dydx+P(x)y(x)=Q(x)\frac{dy}{dx} + P(x)\cdot y(x) = Q(x), so dass wir sie als lineare Differentialgleichung erster Ordnung einstufen können, wobei P(x)=112xP(x)=\frac{-1}{\frac{1}{2}x} und Q(x)=2x3Q(x)=\frac{2x}{3}. Um die Differentialgleichung zu lösen, müssen wir zunächst den integrierenden Faktor finden μ(x)\mu(x)

μ(x)=eP(x)dx\displaystyle\mu\left(x\right)=e^{\int P(x)dx}
13

Um μ(x)\mu(x) zu finden, müssen wir zunächst Folgendes berechnen P(x)dx\int P(x)dx

P(x)dx=112xdx=2ln(x)\int P(x)dx=\int\frac{-1}{\frac{1}{2}x}dx=-2\ln\left(x\right)
14

Der integrierende Faktor μ(x)\mu(x) ist also

μ(x)=x2\mu(x)=x^{-2}
15

Multiplizieren Sie nun alle Terme der Differentialgleichung mit dem integrierenden Faktor μ(x)\mu(x) und prüfen Sie, ob sich die Gleichung vereinfachen lässt

dudxx22ux3=2x13\frac{du}{dx}x^{-2}-2ux^{-3}=\frac{2x^{-1}}{3}
16

Wir können erkennen, dass die linke Seite der Differentialgleichung aus der Ableitung des Produkts von μ(x)y(x)\mu(x)\cdot y(x)

ddx(x2u)=2x13\frac{d}{dx}\left(x^{-2}u\right)=\frac{2x^{-1}}{3}
17

Integrieren Sie beide Seiten der Differentialgleichung in Bezug auf dxdx

ddx(x2u)dx=2x13dx\int\frac{d}{dx}\left(x^{-2}u\right)dx=\int\frac{2x^{-1}}{3}dx
18

Vereinfachen Sie die linke Seite der Differentialgleichung

x2u=2x13dxx^{-2}u=\int\frac{2x^{-1}}{3}dx
19

Wenden Sie die Formel an: xab\frac{x^a}{b}=1bxa=\frac{1}{bx^{-a}}, wobei a=1a=-1 und b=3b=3

x2u=23x1dxx^{-2}u=\int\frac{2}{3x^{1}}dx
20

Wenden Sie die Formel an: x1x^1=x=x

x2u=23xdxx^{-2}u=\int\frac{2}{3x}dx
21

Lösen Sie das Integral 23xdx\int\frac{2}{3x}dx und setzen Sie das Ergebnis in die Differentialgleichung ein

x2u=23lnx+C0x^{-2}u=\frac{2}{3}\ln\left|x\right|+C_0
22

Ersetzen Sie uu durch den Wert y2y^{2}

x2y2=23ln(x)+C0x^{-2}y^{2}=\frac{2}{3}\ln\left(x\right)+C_0
23

Wenden Sie die Formel an: xax^a=1xa=\frac{1}{x^{\left|a\right|}}

1x2y2=23lnx+C0\frac{1}{x^{2}}y^{2}=\frac{2}{3}\ln\left|x\right|+C_0
24

Wenden Sie die Formel an: abxa\frac{b}{x}=abx=\frac{ab}{x}

y2x2=23lnx+C0\frac{y^{2}}{x^{2}}=\frac{2}{3}\ln\left|x\right|+C_0
25

Finden Sie die explizite Lösung der Differentialgleichung. Wir müssen die Variable isolieren yy

y=23ln(x)+c0x,y=23ln(x)+c0xy=\sqrt{\frac{2}{3}\ln\left(x\right)+c_0}x,\:y=-\sqrt{\frac{2}{3}\ln\left(x\right)+c_0}x

Endgültige Antwort auf das Problem

y=23ln(x)+c0x,y=23ln(x)+c0xy=\sqrt{\frac{2}{3}\ln\left(x\right)+c_0}x,\:y=-\sqrt{\frac{2}{3}\ln\left(x\right)+c_0}x

Wie sollte ich dieses Problem lösen?

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dydx  yx =x3y 
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acot
asec
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sinh
cosh
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