Wir erkennen, dass die Differentialgleichung dxdy+x−y=3yx eine Bernoulli-Differentialgleichung ist, da sie die Form dxdy+P(x)y=Q(x)yn hat, wobei n eine beliebige reelle Zahl ist, die sich von 0 und 1 unterscheidet. Um diese Gleichung zu lösen, können wir die folgende Substitution anwenden. Wir definieren eine neue Variable u und setzen sie gleich
u=y(1−n)
2
Setzen Sie den Wert von n ein, der gleich ist −1
u=y(1+1)
3
Vereinfachen Sie
u=y2
Zwischenschritte
4
Isolieren Sie die abhängige Variable y
y=u
Zwischenschritte
5
Differenzieren Sie beide Seiten der Gleichung in Bezug auf die unabhängige Variable x
dxdy=21u−21dxdu
6
Setzen Sie nun dxdy=21u−21dxdu und y=u in die ursprüngliche Differentialgleichung ein
21u−21dxdu+x−u=3ux
7
Vereinfachen Sie
21u−21dxdu+x−u=3ux
8
Wir müssen den Term, der vor dxdu steht, streichen. Dazu multiplizieren wir die gesamte Differentialgleichung mit 21u
(21u−21dxdu+x−u=3ux)(21u)
9
Multiplizieren Sie beide Seiten mit 21u
21u(21u−21dxdu+x−u)=3ux21u
Zwischenschritte
10
Erweitern und vereinfachen Sie. Jetzt sehen wir, dass die Differentialgleichung wie eine lineare Differentialgleichung aussieht, weil wir den ursprünglichen Term y−1 entfernt haben
41dxdu+2x−u=6x
Zwischenschritte
11
Wenden Sie die Formel an: adxdy+c=f→dxdy+ac=af, wobei a=41, c=2x−u und f=6x
dxdu+21x−u=32x
12
Wir können erkennen, dass die Differentialgleichung die Form hat: dxdy+P(x)⋅y(x)=Q(x), so dass wir sie als lineare Differentialgleichung erster Ordnung einstufen können, wobei P(x)=21x−1 und Q(x)=32x. Um die Differentialgleichung zu lösen, müssen wir zunächst den integrierenden Faktor finden μ(x)
μ(x)=e∫P(x)dx
Zwischenschritte
13
Um μ(x) zu finden, müssen wir zunächst Folgendes berechnen ∫P(x)dx
∫P(x)dx=∫21x−1dx=−2ln(x)
Zwischenschritte
14
Der integrierende Faktor μ(x) ist also
μ(x)=x−2
Zwischenschritte
15
Multiplizieren Sie nun alle Terme der Differentialgleichung mit dem integrierenden Faktor μ(x) und prüfen Sie, ob sich die Gleichung vereinfachen lässt
dxdux−2−2ux−3=32x−1
16
Wir können erkennen, dass die linke Seite der Differentialgleichung aus der Ableitung des Produkts von μ(x)⋅y(x)
dxd(x−2u)=32x−1
17
Integrieren Sie beide Seiten der Differentialgleichung in Bezug auf dx
∫dxd(x−2u)dx=∫32x−1dx
18
Vereinfachen Sie die linke Seite der Differentialgleichung
x−2u=∫32x−1dx
19
Wenden Sie die Formel an: bxa=bx−a1, wobei a=−1 und b=3
x−2u=∫3x12dx
20
Wenden Sie die Formel an: x1=x
x−2u=∫3x2dx
Zwischenschritte
21
Lösen Sie das Integral ∫3x2dx und setzen Sie das Ergebnis in die Differentialgleichung ein
x−2u=32ln∣x∣+C0
22
Ersetzen Sie u durch den Wert y2
x−2y2=32ln(x)+C0
Zwischenschritte
23
Wenden Sie die Formel an: xa=x∣a∣1
x21y2=32ln∣x∣+C0
Zwischenschritte
24
Wenden Sie die Formel an: axb=xab
x2y2=32ln∣x∣+C0
Zwischenschritte
25
Finden Sie die explizite Lösung der Differentialgleichung. Wir müssen die Variable isolieren y
y=32ln(x)+c0x,y=−32ln(x)+c0x
Endgültige Antwort auf das Problem
y=32ln(x)+c0x,y=−32ln(x)+c0x
Wie sollte ich dieses Problem lösen?
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