Endgültige Antwort auf das Problem
Schritt-für-Schritt-Lösung
Wie sollte ich dieses Problem lösen?
- Weierstrass Substitution
- Produkt von Binomischen mit gemeinsamem Term
- FOIL Method
- Mehr laden...
Wir können das Integral $\int\frac{x}{x^2-1}dx$ durch Anwendung der Integrationsmethode der trigonometrischen Substitution lösen, indem wir die Substitution
Differenzieren Sie beide Seiten der Gleichung $x=\sec\left(\theta \right)$
Finden Sie die Ableitung
Anwendung der trigonometrischen Identität: $\frac{d}{dx}\left(\sec\left(\theta \right)\right)$$=\frac{d}{dx}\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)\tan\left(\theta \right)$, wobei $x=\theta $
Wenden Sie die Formel an: $\frac{d}{dx}\left(x\right)$$=1$, wobei $x=\theta $
Um nun $d\theta$ in $dx$ umzuschreiben, müssen wir die Ableitung von $x$ finden. Um $dx$ zu berechnen, können wir die obige Gleichung ableiten
Wenden Sie die Formel an: $a\frac{b}{c}$$=\frac{ba}{c}$, wobei $a=\sec\left(\theta \right)\tan\left(\theta \right)$, $b=\sec\left(\theta \right)$ und $c=\sec\left(\theta \right)^2-1$
Setzt man das ursprüngliche Integral ein, erhält man
Anwendung der trigonometrischen Identität: $\sec\left(\theta \right)^2-1$$=\tan\left(\theta \right)^2$, wobei $x=\theta $
Wenden Sie die Formel an: $\frac{a}{a^n}$$=\frac{1}{a^{\left(n-1\right)}}$, wobei $a=\tan\left(\theta \right)$ und $n=2$
Anwendung der trigonometrischen Identität: $\frac{\sec\left(\theta \right)^n}{\tan\left(\theta \right)}$$=\sec\left(\theta \right)^{\left(n-1\right)}\csc\left(\theta \right)$, wobei $x=\theta $ und $n=2$
Schreiben Sie den trigonometrischen Ausdruck $\frac{\sec\left(\theta \right)^2}{\tan\left(\theta \right)}$ innerhalb des Integrals um
Anwendung der trigonometrischen Identität: $\sec\left(\theta \right)$$=\frac{1}{\cos\left(\theta \right)}$, wobei $x=\theta $
Wenden Sie die Formel an: $a\frac{b}{c}$$=\frac{ba}{c}$, wobei $a=\csc\left(\theta \right)$, $b=1$ und $c=\cos\left(\theta \right)$
Wenden Sie die Formel an: $1x$$=x$, wobei $x=\csc\left(\theta \right)$
Reduzieren Sie $\sec\left(\theta \right)\csc\left(\theta \right)$ durch Anwendung trigonometrischer Identitäten
Anwendung der trigonometrischen Identität: $\csc\left(\theta \right)$$=\frac{1}{\sin\left(\theta \right)}$, wobei $x=\theta $
Wenden Sie die Formel an: $\frac{\frac{a}{b}}{c}$$=\frac{a}{bc}$, wobei $a=1$, $b=\sin\left(\theta \right)$, $c=\cos\left(\theta \right)$, $a/b/c=\frac{\frac{1}{\sin\left(\theta \right)}}{\cos\left(\theta \right)}$ und $a/b=\frac{1}{\sin\left(\theta \right)}$
Anwendung der trigonometrischen Identität: $\sin\left(\theta \right)\cos\left(\theta \right)$$=\frac{\sin\left(2\theta \right)}{2}$, wobei $x=\theta $
Wenden Sie die Formel an: $\frac{a}{\frac{b}{c}}$$=\frac{ac}{b}$, wobei $a=1$, $b=\sin\left(2\theta \right)$, $c=2$, $a/b/c=\frac{1}{\frac{\sin\left(2\theta \right)}{2}}$ und $b/c=\frac{\sin\left(2\theta \right)}{2}$
Anwendung der trigonometrischen Identität: $\frac{n}{\sin\left(\theta \right)}$$=n\csc\left(\theta \right)$, wobei $x=2\theta $ und $n=2$
Schreiben Sie den trigonometrischen Ausdruck $\frac{\csc\left(\theta \right)}{\cos\left(\theta \right)}$ innerhalb des Integrals um
Wenden Sie die Formel an: $\int cxdx$$=c\int xdx$, wobei $c=2$ und $x=\csc\left(2\theta \right)$
Wir können das Integral $\int\csc\left(2\theta \right)d\theta$ lösen, indem wir die Methode der Integration durch Substitution (auch U-Substitution genannt) anwenden. Zunächst müssen wir einen Abschnitt innerhalb des Integrals mit einer neuen Variablen identifizieren (nennen wir sie $u$), die, wenn sie substituiert wird, das Integral einfacher macht. Wir sehen, dass $2\theta $ ein guter Kandidat für die Substitution ist. Definieren wir eine Variable $u$ und weisen sie dem gewählten Teil zu
Differenzieren Sie beide Seiten der Gleichung $u=2\theta $
Finden Sie die Ableitung
Wenden Sie die Formel an: $\frac{d}{dx}\left(nx\right)$$=n\frac{d}{dx}\left(x\right)$, wobei $x=\theta $ und $n=2$
Wenden Sie die Formel an: $\frac{d}{dx}\left(x\right)$$=1$, wobei $x=\theta $
Um nun $d\theta$ in $du$ umzuschreiben, müssen wir die Ableitung von $u$ finden. Um $du$ zu berechnen, können wir die obige Gleichung ableiten
Wenden Sie die Formel an: $a=b$$\to b=a$, wobei $a=du$ und $b=2\cdot d\theta$
Wenden Sie die Formel an: $ax=b$$\to x=\frac{b}{a}$, wobei $a=2$, $b=du$ und $x=d\theta$
Isolieren Sie $d\theta$ in der vorherigen Gleichung
Setzen Sie $u$ und $d\theta$ in das Integral ein und vereinfachen Sie
Wenden Sie die Formel an: $\int\frac{x}{c}dx$$=\frac{1}{c}\int xdx$, wobei $c=2$ und $x=\csc\left(u\right)$
Wenden Sie die Formel an: $\frac{a}{b}c$$=\frac{ca}{b}$, wobei $a=1$, $b=2$, $c=2$, $a/b=\frac{1}{2}$ und $ca/b=2\cdot \left(\frac{1}{2}\right)\int\csc\left(u\right)du$
Wenden Sie die Formel an: $\int\csc\left(\theta \right)dx$$=-\ln\left(\csc\left(\theta \right)+\cot\left(\theta \right)\right)+C$, wobei $x=u$
Ersetzen Sie $u$ durch den Wert, den wir ihm am Anfang zugewiesen haben: $2\theta $
Ersetzen Sie $u$ durch den Wert, den wir ihm am Anfang zugewiesen haben: $2\theta $
Anwendung der trigonometrischen Identität: $\csc\left(nx\right)+\cot\left(nx\right)$$=\cot\left(\frac{n}{2}x\right)$, wobei $x=\theta $, $nx=2\theta $ und $n=2$
Wenden Sie die Formel an: $\ln\left(\frac{1}{x}\right)$$=-\ln\left(x\right)$, wobei $x=\sqrt{x^2-1}$ und $1/x=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$
Wenden Sie die Formel an: $\ln\left(x^a\right)$$=a\ln\left(x\right)$, wobei $a=\frac{1}{2}$ und $x=x^2-1$
Drücken Sie die Variable $\theta$ in Form der ursprünglichen Variable aus $x$
Wenden Sie die Formel an: $1x$$=x$, wobei $x=\frac{1}{2}\ln\left(x^2-1\right)$
Da das Integral, das wir lösen, ein unbestimmtes Integral ist, müssen wir am Ende der Integration die Integrationskonstante hinzufügen $C$
