Endgültige Antwort auf das Problem
$-\frac{1}{2}x\ln\left|x+1\right|+\frac{1}{2}x\ln\left|x-1\right|+\frac{1}{2}\left(\left(x+1\right)\ln\left|x+1\right|-x-1\right)-\frac{1}{2}\left(\left(x-1\right)\ln\left|x-1\right|-x+1\right)+C_0$
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Schritt-für-Schritt-Lösung
1
Schreiben Sie den Bruch $\frac{x}{x^2-1}$ innerhalb des Integrals als das Produkt zweier Funktionen um: $x\frac{1}{x^2-1}$
$\int x\frac{1}{x^2-1}dx$
2
Wir können das Integral $\int x\frac{1}{x^2-1}dx$ lösen, indem wir die Methode der Integration durch Teile anwenden, um das Integral des Produkts zweier Funktionen mit der folgenden Formel zu berechnen
$\displaystyle\int u\cdot dv=u\cdot v-\int v \cdot du$
Zwischenschritte
Wenden Sie die Formel an: $\frac{d}{dx}\left(x\right)$$=1$
$1$
3
Identifizieren oder wählen Sie zunächst $u$ und berechnen Sie die Ableitung, $du$
$\begin{matrix}\displaystyle{u=x}\\ \displaystyle{du=dx}\end{matrix}$
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4
Identifizieren Sie nun $dv$ und berechnen Sie $v$
$\begin{matrix}\displaystyle{dv=\frac{1}{x^2-1}dx}\\ \displaystyle{\int dv=\int \frac{1}{x^2-1}dx}\end{matrix}$
5
Lösen Sie das Integral und finden Sie $v$
$v=\int\frac{1}{x^2-1}dx$
Zwischenschritte
Simplify $\sqrt{x^2}$ using the power of a power property: $\left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}$. In the expression, $m$ equals $2$ and $n$ equals $\frac{1}{2}$
$\int\frac{1}{\left(x+\sqrt{1}\right)\left(\sqrt{x^2}-\sqrt{1}\right)}dx$
Wenden Sie die Formel an: $a^b$$=a^b$, wobei $a=1$, $b=\frac{1}{2}$ und $a^b=\sqrt{1}$
$\int\frac{1}{\left(x+1\right)\left(\sqrt{x^2}-\sqrt{1}\right)}dx$
Simplify $\sqrt{x^2}$ using the power of a power property: $\left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}$. In the expression, $m$ equals $2$ and $n$ equals $\frac{1}{2}$
$\int\frac{1}{\left(x+1\right)\left(x-\sqrt{1}\right)}dx$
Wenden Sie die Formel an: $a^b$$=a^b$, wobei $a=1$, $b=\frac{1}{2}$ und $a^b=\sqrt{1}$
$\int\frac{1}{\left(x+1\right)\left(x- 1\right)}dx$
Wenden Sie die Formel an: $1x$$=x$, wobei $x=-1$
$\int\frac{1}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}dx$
6
Faktorisierung der Differenz der Quadrate $x^2-1$ als Produkt zweier konjugierter Binome
$\int\frac{1}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}dx$
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Zwischenschritte
Umschreiben des Bruchs $\frac{1}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}$ in $2$ einfachere Brüche durch partielle Bruchzerlegung
$\frac{1}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-1}$
Ermitteln Sie die Werte für die unbekannten Koeffizienten: $A, B$. Der erste Schritt ist die Multiplikation beider Seiten der Gleichung aus dem vorherigen Schritt mit $\left(x+1\right)\left(x-1\right)$
$1=\left(x+1\right)\left(x-1\right)\left(\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-1}\right)$
Multiplikation von Polynomen
$1=\frac{\left(x+1\right)\left(x-1\right)A}{x+1}+\frac{\left(x+1\right)\left(x-1\right)B}{x-1}$
$1=\left(x-1\right)A+\left(x+1\right)B$
Indem wir $x$ Werte zuweisen, erhalten wir das folgende System von Gleichungen
$\begin{matrix}1=-2A&\:\:\:\:\:\:\:(x=-1) \\ 1=2B&\:\:\:\:\:\:\:(x=1)\end{matrix}$
Lösen Sie nun das lineare Gleichungssystem
$\begin{matrix} -2A & + & 0B & =1 \\ 0A & + & 2B & =1\end{matrix}$
Umschreiben in eine Koeffizientenmatrix
$\left(\begin{matrix}-2 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 1\end{matrix}\right)$
Reduktion der Originalmatrix auf eine Identitätsmatrix mit Hilfe der Gaußschen Eliminierung
$\left(\begin{matrix}1 & 0 & -\frac{1}{2} \\ 0 & 1 & \frac{1}{2}\end{matrix}\right)$
Das Integral von $\frac{1}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}$ in zerlegten Brüchen ist gleich
$\frac{-1}{2\left(x+1\right)}+\frac{1}{2\left(x-1\right)}$
7
Umschreiben des Bruchs $\frac{1}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}$ in $2$ einfachere Brüche durch partielle Bruchzerlegung
$\frac{-1}{2\left(x+1\right)}+\frac{1}{2\left(x-1\right)}$
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8
Wenden Sie die Formel an: $\int\frac{a}{bc}dx$$=\frac{1}{c}\int\frac{a}{b}dx$, wobei $a=-1$, $b=x+1$ und $c=2$
$\frac{1}{2}\int\frac{-1}{x+1}dx+\int\frac{1}{2\left(x-1\right)}dx$
9
Wenden Sie die Formel an: $\int\frac{a}{bc}dx$$=\frac{1}{c}\int\frac{a}{b}dx$, wobei $a=1$, $b=x-1$ und $c=2$
$\frac{1}{2}\int\frac{-1}{x+1}dx+\frac{1}{2}\int\frac{1}{x-1}dx$
10
Wenden Sie die Formel an: $\int\frac{n}{x+b}dx$$=nsign\left(x\right)\ln\left(x+b\right)+C$, wobei $b=1$ und $n=-1$
$-\left(\frac{1}{2}\right)\ln\left(x+1\right)+\frac{1}{2}\int\frac{1}{x-1}dx$
11
Wenden Sie die Formel an: $\int\frac{n}{x+b}dx$$=nsign\left(x\right)\ln\left(x+b\right)+C$, wobei $b=-1$ und $n=1$
$-\frac{1}{2}\ln\left(x+1\right)+1\left(\frac{1}{2}\right)\ln\left(x-1\right)$
Zwischenschritte
Erweitern Sie das Integral $\int\left(-\frac{1}{2}\ln\left(x+1\right)+\frac{1}{2}\ln\left(x-1\right)\right)dx$ mit Hilfe der Summenregel für Integrale in $2$ Integrale, um dann jedes Integral einzeln zu lösen
$\left(-\frac{1}{2}\ln\left(x+1\right)+\frac{1}{2}\ln\left(x-1\right)\right)x- \left(-\frac{1}{2}\right)\int\ln\left(x+1\right)dx- \left(\frac{1}{2}\right)\int\ln\left(x-1\right)dx$
Wenden Sie die Formel an: $\frac{a}{b}c$$=\frac{ca}{b}$, wobei $a=-1$, $b=2$, $c=-1$, $a/b=-\frac{1}{2}$ und $ca/b=- \left(-\frac{1}{2}\right)\int\ln\left(x+1\right)dx$
$\left(-\frac{1}{2}\ln\left|x+1\right|+\frac{1}{2}\ln\left|x-1\right|\right)x+\frac{1}{2}\int\ln\left(x+1\right)dx- \left(\frac{1}{2}\right)\int\ln\left(x-1\right)dx$
Wenden Sie die Formel an: $\frac{a}{b}c$$=\frac{ca}{b}$, wobei $a=1$, $b=2$, $c=-1$, $a/b=\frac{1}{2}$ und $ca/b=- \left(\frac{1}{2}\right)\int\ln\left(x-1\right)dx$
$\left(-\frac{1}{2}\ln\left|x+1\right|+\frac{1}{2}\ln\left|x-1\right|\right)x+\frac{1}{2}\int\ln\left(x+1\right)dx-\frac{1}{2}\int\ln\left(x-1\right)dx$
12
Ersetzen Sie nun die Werte von $u$, $du$ und $v$ in der letzten Formel
$\left(-\frac{1}{2}\ln\left|x+1\right|+\frac{1}{2}\ln\left|x-1\right|\right)x+\frac{1}{2}\int\ln\left(x+1\right)dx-\frac{1}{2}\int\ln\left(x-1\right)dx$
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13
Multiplizieren Sie den Einzelterm $x$ mit jedem Term des Polynoms $\left(-\frac{1}{2}\ln\left(x+1\right)+\frac{1}{2}\ln\left(x-1\right)\right)$
$-\frac{1}{2}x\ln\left(x+1\right)+\frac{1}{2}x\ln\left(x-1\right)+\frac{1}{2}\int\ln\left(x+1\right)dx-\frac{1}{2}\int\ln\left(x-1\right)dx$
14
Wenden Sie die Formel an: $\int\ln\left(x+b\right)dx$$=\left(x+b\right)\ln\left(x+b\right)-\left(x+b\right)+C$, wobei $b=1$ und $x+b=x+1$
$-\frac{1}{2}x\ln\left|x+1\right|+\frac{1}{2}x\ln\left|x-1\right|+\frac{1}{2}\left(\left(x+1\right)\ln\left|x+1\right|-\left(x+1\right)\right)-\frac{1}{2}\int\ln\left(x-1\right)dx$
15
Wenden Sie die Formel an: $\int\ln\left(x+b\right)dx$$=\left(x+b\right)\ln\left(x+b\right)-\left(x+b\right)+C$, wobei $b=-1$ und $x+b=x-1$
$-\frac{1}{2}x\ln\left|x+1\right|+\frac{1}{2}x\ln\left|x-1\right|+\frac{1}{2}\left(\left(x+1\right)\ln\left|x+1\right|-\left(x+1\right)\right)-\frac{1}{2}\left(\left(x-1\right)\ln\left|x-1\right|-\left(x-1\right)\right)$
Zwischenschritte
Wenden Sie die Formel an: $-\left(a+b\right)$$=-a-b$, wobei $a=x$, $b=1$, $-1.0=-1$ und $a+b=x+1$
$-\frac{1}{2}x\ln\left|x+1\right|+\frac{1}{2}x\ln\left|x-1\right|+\frac{1}{2}\left(\left(x+1\right)\ln\left|x+1\right|-x-1\right)-\frac{1}{2}\left(\left(x-1\right)\ln\left|x-1\right|-\left(x-1\right)\right)$
Wenden Sie die Formel an: $-\left(a+b\right)$$=-a-b$, wobei $a=x$, $b=-1$, $-1.0=-1$ und $a+b=x-1$
$-\frac{1}{2}x\ln\left|x+1\right|+\frac{1}{2}x\ln\left|x-1\right|+\frac{1}{2}\left(\left(x+1\right)\ln\left|x+1\right|-x-1\right)-\frac{1}{2}\left(\left(x-1\right)\ln\left|x-1\right|-x+1\right)$
16
Vereinfachen Sie den Ausdruck
$-\frac{1}{2}x\ln\left(x+1\right)+\frac{1}{2}x\ln\left(x-1\right)+\frac{1}{2}\left(\left(x+1\right)\ln\left(x+1\right)-x-1\right)-\frac{1}{2}\left(\left(x-1\right)\ln\left(x-1\right)-x+1\right)$
Erläutern Sie diesen Schritt näher
17
Da das Integral, das wir lösen, ein unbestimmtes Integral ist, müssen wir am Ende der Integration die Integrationskonstante hinzufügen $C$
$-\frac{1}{2}x\ln\left|x+1\right|+\frac{1}{2}x\ln\left|x-1\right|+\frac{1}{2}\left(\left(x+1\right)\ln\left|x+1\right|-x-1\right)-\frac{1}{2}\left(\left(x-1\right)\ln\left|x-1\right|-x+1\right)+C_0$
Endgültige Antwort auf das Problem $-\frac{1}{2}x\ln\left|x+1\right|+\frac{1}{2}x\ln\left|x-1\right|+\frac{1}{2}\left(\left(x+1\right)\ln\left|x+1\right|-x-1\right)-\frac{1}{2}\left(\left(x-1\right)\ln\left|x-1\right|-x+1\right)+C_0$
