Endgültige Antwort auf das Problem
Schritt-für-Schritt-Lösung
Wie sollte ich dieses Problem lösen?
- Wählen Sie eine Option
- Weierstrass Substitution
- Produkt von Binomischen mit gemeinsamem Term
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Wir können das Integral $\int\frac{x^2}{\sqrt{x^2+6}}dx$ durch Anwendung der Integrationsmethode der trigonometrischen Substitution lösen, indem wir die Substitution
Differenzieren Sie beide Seiten der Gleichung $x=\sqrt{6}\tan\left(\theta \right)$
Finden Sie die Ableitung
Wenden Sie die Formel an: $\frac{d}{dx}\left(cx\right)$$=c\frac{d}{dx}\left(x\right)$
Anwendung der trigonometrischen Identität: $\frac{d}{dx}\left(\tan\left(\theta \right)\right)$$=\frac{d}{dx}\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^2$, wobei $x=\theta $
Wenden Sie die Formel an: $\frac{d}{dx}\left(x\right)$$=1$, wobei $x=\theta $
Um nun $d\theta$ in $dx$ umzuschreiben, müssen wir die Ableitung von $x$ finden. Um $dx$ zu berechnen, können wir die obige Gleichung ableiten
Wenden Sie die Formel an: $\left(ab\right)^n$$=a^nb^n$, wobei $a=\sqrt{6}$, $b=\tan\left(\theta \right)$ und $n=2$
Wenden Sie die Formel an: $a\frac{b}{c}$$=\frac{ba}{c}$, wobei $a=\sqrt{6}\sec\left(\theta \right)^2$, $b=6\tan\left(\theta \right)^2$ und $c=\sqrt{\left(\sqrt{6}\tan\left(\theta \right)\right)^2+6}$
Wenden Sie die Formel an: $\left(ab\right)^n$$=a^nb^n$, wobei $a=\sqrt{6}$, $b=\tan\left(\theta \right)$ und $n=2$
Anwendung der trigonometrischen Identität: $n+n\tan\left(\theta \right)^2$$=n\sec\left(\theta \right)^2$, wobei $x=\theta $ und $n=6$
Wenden Sie die Formel an: $\left(ab\right)^n$$=a^nb^n$, wobei $a=6$, $b=\sec\left(\theta \right)^2$ und $n=\frac{1}{2}$
Wenden Sie die Formel an: $\frac{a}{a}$$=1$, wobei $a=\sqrt{6}$ und $a/a=\frac{6\sqrt{6}\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)^2}{\sqrt{6}\sec\left(\theta \right)}$
Setzt man das ursprüngliche Integral ein, erhält man
Wenden Sie die Formel an: $\frac{a^n}{a}$$=a^{\left(n-1\right)}$, wobei $a^n/a=\frac{6\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)^2}{\sec\left(\theta \right)}$, $a^n=\sec\left(\theta \right)^2$, $a=\sec\left(\theta \right)$ und $n=2$
Vereinfachung
Wenden Sie die Formel an: $\int cxdx$$=c\int xdx$, wobei $c=6$ und $x=\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)$
Applying the trigonometric identity: $\tan\left(\theta \right)^2 = \sec\left(\theta \right)^2-1$
Wir stellen fest, dass das Integral die Form $\int\tan^m(x)\sec^n(x)dx$ hat. Wenn $n$ ungerade und $m$ gerade ist, müssen wir alles in Form von Sekanten ausdrücken, expandieren und jede Funktion einzeln integrieren
Multiplizieren Sie den Einzelterm $\sec\left(\theta \right)$ mit jedem Term des Polynoms $\left(\sec\left(\theta \right)^2-1\right)$
Wenden Sie die Formel an: $x\cdot x^n$$=x^{\left(n+1\right)}$, wobei $x^nx=\sec\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)$, $x=\sec\left(\theta \right)$, $x^n=\sec\left(\theta \right)^2$ und $n=2$
Multiplizieren Sie den Einzelterm $\sec\left(\theta \right)$ mit jedem Term des Polynoms $\left(\sec\left(\theta \right)^2-1\right)$
Erweitern Sie das Integral $\int\left(\sec\left(\theta \right)^{3}-\sec\left(\theta \right)\right)d\theta$ mit Hilfe der Summenregel für Integrale in $2$ Integrale, um dann jedes Integral einzeln zu lösen
Wenden Sie die Formel an: $\int\sec\left(\theta \right)^ndx$$=\frac{\sin\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^{\left(n-1\right)}}{n-1}+\frac{n-2}{n-1}\int\sec\left(\theta \right)^{\left(n-2\right)}dx$, wobei $dx=d\theta$, $x=\theta $ und $n=3$
Wenden Sie die Formel an: $x\left(a+b\right)$$=xa+xb$, wobei $a=\frac{\sin\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^{2}}{2}$, $b=\frac{1}{2}\int\sec\left(\theta \right)d\theta$, $x=6$ und $a+b=\frac{\sin\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^{2}}{2}+\frac{1}{2}\int\sec\left(\theta \right)d\theta$
Wenden Sie die Formel an: $a\frac{x}{b}$$=\frac{a}{b}x$, wobei $a=6$, $b=2$, $ax/b=6\left(\frac{\sin\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^{2}}{2}\right)$, $x=\sin\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^{2}$ und $x/b=\frac{\sin\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^{2}}{2}$
Drücken Sie die Variable $\theta$ in Form der ursprünglichen Variable aus $x$
Wenden Sie die Formel an: $\int\sec\left(\theta \right)dx$$=\ln\left(\sec\left(\theta \right)+\tan\left(\theta \right)\right)+C$, wobei $x=\theta $
Drücken Sie die Variable $\theta$ in Form der ursprünglichen Variable aus $x$
Das Integral $6\int\sec\left(\theta \right)^{3}d\theta$ ergibt sich: $\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+6}+3\ln\left(\frac{\sqrt{x^2+6}+x}{\sqrt{6}}\right)$
Sammeln Sie die Ergebnisse aller Integrale
Wenden Sie die Formel an: $\int\sec\left(\theta \right)dx$$=\ln\left(\sec\left(\theta \right)+\tan\left(\theta \right)\right)+C$, wobei $x=\theta $
Drücken Sie die Variable $\theta$ in Form der ursprünglichen Variable aus $x$
Das Integral $-6\int\sec\left(\theta \right)d\theta$ ergibt sich: $-6\ln\left(\frac{\sqrt{x^2+6}+x}{\sqrt{6}}\right)$
Sammeln Sie die Ergebnisse aller Integrale
Die Kombination gleicher Begriffe $3\ln\left(\frac{\sqrt{x^2+6}+x}{\sqrt{6}}\right)$ und $-6\ln\left(\frac{\sqrt{x^2+6}+x}{\sqrt{6}}\right)$
Da das Integral, das wir lösen, ein unbestimmtes Integral ist, müssen wir am Ende der Integration die Integrationskonstante hinzufügen $C$
Wenden Sie die Formel an: $b\ln\left(\frac{x}{a}\right)+c$$=b\ln\left(x\right)+cteint$, wobei $a=\sqrt{6}$, $b=-3$, $c=C_0$ und $x=\sqrt{x^2+6}+x$
