Endgültige Antwort auf das Problem
Schritt-für-Schritt-Lösung
Wie sollte ich dieses Problem lösen?
- Weierstrass Substitution
- Produkt von Binomischen mit gemeinsamem Term
- FOIL Method
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Wir können das Integral $\int x^2\sin\left(x\right)dx$ lösen, indem wir die Methode der tabellarischen Integration durch Teile anwenden, die es uns erlaubt, sukzessive Integrationen durch Teile auf Integralen der Form $\int P(x)T(x) dx$ durchzuführen. $P(x)$ ist typischerweise eine Polynomfunktion und $T(x)$ ist eine transzendente Funktion wie $\sin(x)$, $\cos(x)$ und $e^x$. Der erste Schritt besteht darin, die Funktionen $P(x)$ und $T(x)$
Bestimmen Sie die Ableitung von $x^2$ in Bezug auf $x$
Wenden Sie die Formel an: $\frac{d}{dx}\left(x^a\right)$$=ax^{\left(a-1\right)}$, wobei $a=2$
Wenden Sie die Formel an: $\frac{d}{dx}\left(nx\right)$$=n\frac{d}{dx}\left(x\right)$, wobei $n=2$
Wenden Sie die Formel an: $\frac{d}{dx}\left(x\right)$$=1$
Wenden Sie die Formel an: $\frac{d}{dx}\left(c\right)$$=0$, wobei $c=2$
Leiten Sie $P(x)$ ab, bis es zu $0$
Ermitteln Sie das Integral von $\sin\left(x\right)$ in Bezug auf $x$
Wenden Sie die Formel an: $\int\sin\left(\theta \right)dx$$=-\cos\left(\theta \right)+C$
Wenden Sie die Formel an: $\int cxdx$$=c\int xdx$, wobei $c=-1$ und $x=\cos\left(x\right)$
Wenden Sie die Formel an: $\int\cos\left(\theta \right)dx$$=\sin\left(\theta \right)+C$
Wenden Sie die Formel an: $\int cxdx$$=c\int xdx$, wobei $c=-1$ und $x=\sin\left(x\right)$
Wenden Sie die Formel an: $\int\sin\left(\theta \right)dx$$=-\cos\left(\theta \right)+C$
Wenden Sie die Formel an: $1x$$=x$, wobei $x=\cos\left(x\right)$
Integrieren Sie $T(x)$ so oft, wie Sie $P(x)$ herleiten mussten, also müssen Sie $\sin\left(x\right)$ insgesamt $3$ integrieren.
Mit den Ableitungen und Integralen der beiden Funktionen erstellen wir folgende Tabelle
Die Lösung ist dann die Summe der Produkte aus den Ableitungen und den Integralen gemäß der vorstehenden Tabelle. Der erste Term besteht aus dem Produkt der Polynomfunktion mit dem ersten Integral. Der zweite Term ist das Produkt der ersten Ableitung mit dem zweiten Integral und so weiter.
Da das Integral, das wir lösen, ein unbestimmtes Integral ist, müssen wir am Ende der Integration die Integrationskonstante hinzufügen $C$
