Endgültige Antwort auf das Problem
Schritt-für-Schritt-Lösung
Wie sollte ich dieses Problem lösen?
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- Exakte Differentialgleichung
- Lineare Differentialgleichung
- Trennbare Differentialgleichung
- Homogene Differentialgleichung
- Produkt von Binomischen mit gemeinsamem Term
- FOIL Method
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Schreiben Sie die Differentialgleichung in der Standardform um $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$
Die Differentialgleichung $3y^2dy-2xdx=0$ ist exakt, da sie in der Standardform $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$ geschrieben ist, wobei $M(x,y)$ und $N(x,y)$ die partiellen Ableitungen einer Funktion mit zwei Variablen $f(x,y)$ sind und sie den Test auf Exaktheit erfüllen: $\displaystyle\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}$. Mit anderen Worten: Ihre zweiten partiellen Ableitungen sind gleich. Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung hat die Form $f(x,y)=C$
Bestimmen Sie die Ableitung von $M(x,y)$ in Bezug auf $y$
Wenden Sie die Formel an: $\frac{d}{dx}\left(c\right)$$=0$, wobei $c=-2x$
Bestimmen Sie die Ableitung von $N(x,y)$ in Bezug auf $x$
Wenden Sie die Formel an: $\frac{d}{dx}\left(c\right)$$=0$, wobei $c=3y^2$
Mit Hilfe des Exaktheitstests können wir überprüfen, ob die Differentialgleichung exakt ist
Wenden Sie die Formel an: $\int cxdx$$=c\int xdx$, wobei $c=-2$
Wenden Sie die Formel an: $\int xdx$$=\frac{1}{2}x^2+C$
Wenden Sie die Formel an: $\frac{a}{b}c$$=\frac{ca}{b}$, wobei $a=1$, $b=2$, $c=-2$, $a/b=\frac{1}{2}$ und $ca/b=-2\cdot \left(\frac{1}{2}\right)x^2$
Da $y$ als Konstante behandelt wird, fügen wir eine Funktion von $y$ als Integrationskonstante hinzu
Integrieren Sie $M(x,y)$ in Bezug auf $x$ und Sie erhalten
Wenden Sie die Formel an: $\frac{d}{dx}\left(c\right)$$=0$, wobei $c=-x^2$
Die Ableitung von $g(y)$ lautet $g'(y)$
Nehmen Sie nun die partielle Ableitung von $-x^2$ nach $y$ und Sie erhalten
Vereinfachen und isolieren $g'(y)$
Wenden Sie die Formel an: $x+0$$=x$, wobei $x=g$
Wenden Sie die Formel an: $a=b$$\to b=a$, wobei $a=3y^2$ und $b=g$
Setzen Sie $3y^2$ und $0+g'(y)$ einander gleich und isolieren Sie $g'(y)$
Integrieren Sie beide Seiten in Bezug auf $y$
Wenden Sie die Formel an: $\int cxdx$$=c\int xdx$, wobei $c=3$ und $x=y^2$
Wenden Sie die Formel an: $\int x^ndx$$=\frac{x^{\left(n+1\right)}}{n+1}+C$, wobei $x=y$ und $n=2$
Wenden Sie die Formel an: $a\frac{b}{c}$$=\frac{ba}{c}$, wobei $a=3$, $b=y^{3}$ und $c=3$
Finde $g(y)$ und integriere beide Seiten.
Wir haben unsere $f(x,y)$ gefunden und sie entspricht
Die Lösung der Differentialgleichung lautet dann
Gruppieren Sie die Terme der Gleichung
Wenden Sie die Formel an: $x^a=b$$\to \left(x^a\right)^{inverse\left(a\right)}=b^{inverse\left(a\right)}$, wobei $a=3$, $b=C_0+x^2$, $x^a=b=y^{3}=C_0+x^2$, $x=y$ und $x^a=y^{3}$
Wenden Sie die Formel an: $\left(x^a\right)^b$$=x$, wobei $a=3$, $b=1$, $x^a^b=\sqrt[3]{y^{3}}$, $x=y$ und $x^a=y^{3}$
Finden Sie die explizite Lösung der Differentialgleichung. Wir müssen die Variable isolieren $y$
