Wir können das Integral $\int\frac{1}{2\sin\left(x\right)\cos\left(x\right)}dx$ lösen, indem wir die Methode der Weierstraß-Substitution (auch bekannt als Tangens-Halbwinkel-Substitution) anwenden, die ein Integral trigonometrischer Funktionen in eine rationale Funktion von $t$ umwandelt, indem wir die Substitution setzen

Daher

Setzt man das ursprüngliche Integral ein, erhält man

Wenden Sie die Formel an: $\int\frac{a}{bc}dx$$=\frac{1}{c}\int\frac{a}{b}dx$, wobei $a=1+t^{2}$, $b=\left(1-t^{2}\right)t$ und $c=2$

Wir können das Integral $\int\frac{t}{1-t^{2}}dt$ lösen, indem wir die Methode der Integration durch Substitution (auch U-Substitution genannt) anwenden. Zunächst müssen wir einen Abschnitt innerhalb des Integrals mit einer neuen Variablen identifizieren (nennen wir sie $u$), die, wenn sie substituiert wird, das Integral einfacher macht. Wir sehen, dass $1-t^{2}$ ein guter Kandidat für die Substitution ist. Definieren wir eine Variable $u$ und weisen sie dem gewählten Teil zu

Isolieren Sie $dt$ in der vorherigen Gleichung

Sammeln Sie die Ergebnisse aller Integrale

Ersetzen Sie $t$ durch den Wert, den wir ihm am Anfang zugewiesen haben: $\tan\left(\frac{x}{2}\right)$

Da das Integral, das wir lösen, ein unbestimmtes Integral ist, müssen wir am Ende der Integration die Integrationskonstante hinzufügen $C$