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Übung

$\frac{dy}{dx}\:-\frac{y}{x}=\frac{x}{3y}$

Schritt-für-Schritt-Lösung

1

Wir erkennen, dass die Differentialgleichung $\frac{dy}{dx}+\frac{-y}{x}=\frac{x}{3y}$ eine Bernoulli-Differentialgleichung ist, da sie die Form $\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^n$ hat, wobei $n$ eine beliebige reelle Zahl ist, die sich von $0$ und $1$ unterscheidet. Um diese Gleichung zu lösen, können wir die folgende Substitution anwenden. Wir definieren eine neue Variable $u$ und setzen sie gleich

$u=y^{\left(1-n\right)}$
2

Setzen Sie den Wert von $n$ ein, der gleich ist $-1$

$u=y^{\left(1+1\right)}$
3

Vereinfachen Sie

$u=y^{2}$
4

Isolieren Sie die abhängige Variable $y$

$y=\sqrt{u}$
5

Differenzieren Sie beide Seiten der Gleichung in Bezug auf die unabhängige Variable $x$

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}\frac{du}{dx}$
6

Setzen Sie nun $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}\frac{du}{dx}$ und $y=\sqrt{u}$ in die ursprüngliche Differentialgleichung ein

$\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}\frac{du}{dx}+\frac{-\sqrt{u}}{x}=\frac{x}{3\sqrt{u}}$
7

Vereinfachen Sie

$\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}\frac{du}{dx}+\frac{-\sqrt{u}}{x}=\frac{x}{3\sqrt{u}}$
8

Wir müssen den Term, der vor $\frac{du}{dx}$ steht, streichen. Dazu multiplizieren wir die gesamte Differentialgleichung mit $\frac{1}{2}\sqrt{u}$

$\left(\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}\frac{du}{dx}+\frac{-\sqrt{u}}{x}=\frac{x}{3\sqrt{u}}\right)\left(\frac{1}{2}\sqrt{u}\right)$
9

Multiplizieren Sie beide Seiten mit $\frac{1}{2}\sqrt{u}$

$\frac{1}{2}\sqrt{u}\left(\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}\frac{du}{dx}+\frac{-\sqrt{u}}{x}\right)=\frac{x}{3\sqrt{u}}\frac{1}{2}\sqrt{u}$
10

Erweitern und vereinfachen Sie. Jetzt sehen wir, dass die Differentialgleichung wie eine lineare Differentialgleichung aussieht, weil wir den ursprünglichen Term $y^{-1}$ entfernt haben

$\frac{1}{4}\frac{du}{dx}+\frac{-u}{2x}=\frac{x}{6}$
11

Wenden Sie die Formel an: $a\frac{dy}{dx}+c=f$$\to \frac{dy}{dx}+\frac{c}{a}=\frac{f}{a}$, wobei $a=\frac{1}{4}$, $c=\frac{-u}{2x}$ und $f=\frac{x}{6}$

$\frac{du}{dx}+\frac{-u}{\frac{1}{2}x}=\frac{2x}{3}$
12

Wir können erkennen, dass die Differentialgleichung die Form hat: $\frac{dy}{dx} + P(x)\cdot y(x) = Q(x)$, so dass wir sie als lineare Differentialgleichung erster Ordnung einstufen können, wobei $P(x)=\frac{-1}{\frac{1}{2}x}$ und $Q(x)=\frac{2x}{3}$. Um die Differentialgleichung zu lösen, müssen wir zunächst den integrierenden Faktor finden $\mu(x)$

$\displaystyle\mu\left(x\right)=e^{\int P(x)dx}$
13

Um $\mu(x)$ zu finden, müssen wir zunächst Folgendes berechnen $\int P(x)dx$

$\int P(x)dx=\int\frac{-1}{\frac{1}{2}x}dx=-2\ln\left(x\right)$
14

Der integrierende Faktor $\mu(x)$ ist also

$\mu(x)=x^{-2}$
15

Multiplizieren Sie nun alle Terme der Differentialgleichung mit dem integrierenden Faktor $\mu(x)$ und prüfen Sie, ob sich die Gleichung vereinfachen lässt

$\frac{du}{dx}x^{-2}-2ux^{-3}=\frac{2x^{-1}}{3}$
16

Wir können erkennen, dass die linke Seite der Differentialgleichung aus der Ableitung des Produkts von $\mu(x)\cdot y(x)$

$\frac{d}{dx}\left(x^{-2}u\right)=\frac{2x^{-1}}{3}$
17

Integrieren Sie beide Seiten der Differentialgleichung in Bezug auf $dx$

$\int\frac{d}{dx}\left(x^{-2}u\right)dx=\int\frac{2x^{-1}}{3}dx$
18

Vereinfachen Sie die linke Seite der Differentialgleichung

$x^{-2}u=\int\frac{2x^{-1}}{3}dx$
19

Wenden Sie die Formel an: $\frac{x^a}{b}$$=\frac{1}{bx^{-a}}$, wobei $a=-1$ und $b=3$

$x^{-2}u=\int\frac{2}{3x^{1}}dx$
20

Wenden Sie die Formel an: $x^1$$=x$

$x^{-2}u=\int\frac{2}{3x}dx$
21

Lösen Sie das Integral $\int\frac{2}{3x}dx$ und setzen Sie das Ergebnis in die Differentialgleichung ein

$x^{-2}u=\frac{2}{3}\ln\left|x\right|+C_0$
22

Ersetzen Sie $u$ durch den Wert $y^{2}$

$x^{-2}y^{2}=\frac{2}{3}\ln\left(x\right)+C_0$
23

Wenden Sie die Formel an: $x^a$$=\frac{1}{x^{\left|a\right|}}$

$\frac{1}{x^{2}}y^{2}=\frac{2}{3}\ln\left|x\right|+C_0$
24

Wenden Sie die Formel an: $a\frac{b}{x}$$=\frac{ab}{x}$

$\frac{y^{2}}{x^{2}}=\frac{2}{3}\ln\left|x\right|+C_0$
25

Finden Sie die explizite Lösung der Differentialgleichung. Wir müssen die Variable isolieren $y$

$y=\sqrt{\frac{2}{3}\ln\left(x\right)+c_0}x,\:y=-\sqrt{\frac{2}{3}\ln\left(x\right)+c_0}x$

Endgültige Antwort auf das Problem

$y=\sqrt{\frac{2}{3}\ln\left(x\right)+c_0}x,\:y=-\sqrt{\frac{2}{3}\ln\left(x\right)+c_0}x$

Wie sollte ich dieses Problem lösen?

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  • Homogene Differentialgleichung
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